In matematica esiste l'arte di "fare congetture"; fare una congettura consiste nel dire "ecco c'è questo problema e penso che la risposta sia questa, però non sono capace di dimostrarlo". Per essere interessante una congettura deve riferirsi a un problema importante e la presunta risposta deve, in qualche modo, "spiegare il problema", gettare luce, aprire nuovi orizzonti; oppure la risposta proposta deve essere molto sorprendente (cf congettura di Goldbach). E' chiaro inoltre che una buona congettura non deve essere facilmente risolvibile (altrimenti rischia di diventare un semplice esercizio...). E' molto difficile fare una buona congettura e spesso chi le fa non le risolve! Le congetture in matematica sono molto importanti perchè indirizzano le ricerche, servono da guide.
Le congetture più note sono in generale quelle che riguardano l'aritmetica, questo è anche dovuto al fatto che hanno enunciati comprensibili anche da non specialisti.
Ecco un esempio classico: un numero naturale, n, è detto perfetto se 2n è uguale alla somma dei suoi divisori. Per esempio 6 è perfetto perchè i suoi divisori sono 1, 2, 3, 6 e 12 = 1+2+3+6. Il successivo numero perfetto è 28.
La congettura su i numeri perfetti: "ogni numero perfetto è pari e termina con 6 o 8. Inoltre esistono infiniti numeri perfetti". Questa congettura risale agli antichi Greci, tutt'oggi è ritenuta intrattabile (nel senso che la matematica non possiede ancora i metodi necessari per risolvere questo tipo di problema; quindi non perdeteci troppo tempo!).
Un'altra congettura più importante (forse perchè più "raggiungibile") era la congettura di Fermat ora teorema di Wiles.
Un'altra congettura importante, sulla quale si sono fatti notevoli progressi, è la congettura di Goldbach (Christian Goldbach (1690-1764), amico di Eulero):
"ogni numero pari n > 2 è somma di due numeri primi".
Per esempio: 4 = 2+2, 6 =3+3, 8 = 3+5, 10 = 3+7 = 5+5, 12 = 5+7, ecc... L'affermazione di Goldbach sembra a priori molto avventata, invece i risultati ottenuti finora lasciano pensare che sia vera. Qui troverete un programmino (applet java) che verifica la congettura di Goldbach fino a n = 1.000.000.000.
Ovviamente ci sono congetture importanti in altri settori della matematica ma i loro enunciati sono più tecnici, perciò non ne parleremo qua.
Qual'è la congettura più importante al giorno d'oggi?
E' sempre difficile (se non impossibile) rispondere a una domanda del genere. Nel caso specifico possiamo arrischiare le seguenti considerazioni: dopo la risoluzione della congettura di Fermat uno degli obbiettivi più importanti è senz'altro la risoluzione della congettura di Riemann. La congettura di Riemann riguarda la ripartizione dei numeri primi.
Sia p(n) il numero di numeri primi minori o uguali a n. Per esempio p(6) = 3 (perchè ci sono 2, 3, 5), p(10) = 4, ecc... Nel 1896, Hadamard e (indipendentemente) de La Vallée Poussin, dimostrarono che asintoticamente p(n) ~ n/Log(n) (cioè se n è molto grande il valore di p(n) è approssimativamente n/Log(n)). Hadamard e de La Vallée Poussin presero spunti da un lavoro di Riemann per dimostrare questo teorema (noto come "grande teorema dei numeri primi); in quel lavoro Riemann congetturava informazioni molto più precise su p(n), queste predizioni molto precise sull'andamento della funzione p(n) costituiscono appunto la congettura di Riemann (una formulazione precisa sarebbe, a questo livello, decisamente troppo tecnica).
La congettura di Riemann è molto importante perchè una sua risoluzione comporterebbe la risoluzione di una moltitudine di problemi di teoria dei numeri e anche una grande semplificazione della teoria, infatti basti pensare che molte dimostrazioni in teoria dei numeri sono impostate nel modo seguente: 1) se la congettura di Riemann è vera, allora ... 2) se la congettura di Riemann è falsa, allora ...
Ecco, siamo giunti alla
di questa piccola passeggiata, dal Bancomat alla congettura di Riemann, ma per concludere vorrei indicare alcuni libri per proseguire la scoperta della matematica, scienza affascinante e stimolante.
