Fermat si dilettava a rileggere le opere complete di Diofante ( 150 d.Cristo circa) autore greco che si occupava di questioni del genere: "trovare due numeri tali che il quadrato di ciascun numero aumentato dalla somma dei due numeri sia un quadrato"; cioè trovare x, y tali che x2 + x + y = n2, e: y2 + x +y = m2 (Problema 22, secondo libro).
Quando Fermat trovava un'affermazione interessante nelle opere di Diofante faceva
un'annotazione nel margine del suo libro. Dopo la morte di Fermat, suo figlio ebbe la
buona idea di pubblicare un'edizione delle opere di Diofante con le annotazioi del padre.
Una terna (x, y, z) di numeri interi è pitagorica se x2 + y2 = z2; in virtù del teorema di Pitagora, x, y e z sono le lunghezze di un triangolo rettangolo. Per esempio (3, 4, 5) è una terna pitagorica. Esistono infinite terne pitagoriche e la formula che descrive tutte le possibili terne pitagoriche è nota sin dall'antichità.
A proposito delle terne pitagoriche, Fermat scrisse nel margine della sua edizione delle opere di Diofante:
"Più generalmente l'equazione xn + yn
= zn, n > 2, non ammette soluzioni intere con x.y.z non nullo [è
chiaro che per esempio (1,0,1) è soluzione]. Ho scoperto una dimostrazione notevole di
questo fatto ma purtroppo questo margine è troppo stretto per contenerla".
Non l'avesse mai detto!!
La reputazione di Fermat era tale che questa affermazione fu presa con molta serietà,
però (per colpa di quel margine troppo stretto!) mancava la dimostrazione, per cui molti
matematici, tra l'altro alcuni fra i più celebri, cercarono di risolvere il problema (o
la "congettura" di Fermat).
Il caso n = 3 fu dimostrato da Eulero (1707-1783). Il caso n = 5 fu
risolto, nel 1825, da Legendre e Lejeune-Dirichlet. Sophie Germain fece registrare
progressi notevoli, ma era ancora ben lungi dal risolvere il caso generale.
Il celebre matematico Kummer (1810-1893) fondò praticamente una nuova branca della
matematica (teoria degli ideali e dei campi di numeri) nel tentativo di dimostrare il caso
generale. In tempi più recenti (1983), Faltings dimostrò (come corollario del suo
teorema sul problema di Mordell) che per ogni n > 3, l'equazione xn +
yn = zn aveva un numero finito
di soluzioni (x, y, z) con x, y, z numeri interi.
Comunque la congettura di Fermat resistette per tre secoli, finchè nel 1993 il matematico inglese A. Wiles, seguendo un'idea di Frey, annunciò di averla dimostrata. Questo annuncio fece scalpore e fu organizzato un comitato di esperti ("referees") per verificare la dimostrazione di Wiles.
Uno di questi (N. Katz) trovò l'errore. Wiles, chiaramente, era disperato. Quando un matematico trova un errore in uno dei suoi lavori, la sua prima (e unica) reazione è di cercare di colmare il buco. Wiles lavorò intensamente per un anno, ideando una strategia alternativa, e con l'aiuto del suo allievo, Taylor, riuscì a completare i dettagli tecnici di questa nuova dimostrazione. Questa volta i "referees" non trovarono niente da ridire. I lavori di Wiles e Wiles-Taylor sono stati pubblicati nel 1995 nel volume 141 degli Annals of Mathematics, una delle riviste più prestigiose di matematica.
La congettura di Fermat è dimostrata. (Tutto sommato, anche se con un certo ritardo, gli
inglesi sono riusciti a risolvere tutti i problemi posti da Fermat).
Questo sembra ormai un fatto acquisito, tanto più che ulteriori lavori, di vari
matematici, hanno esteso i risultati di Wiles, Wiles-Taylor, aldilà della congettura di
Fermat.
Cosa c'entrano le curve ellittiche nella dimostrazione di Wiles?
Molto rapidamente, la dimostrazione funziona così: supponiamo che an + bn = cn (*) sia una soluzione non banale dell'equazione di Fermat. Consideriamo la curva di equazione y2 = x(x - an)(x - bn) ($); è una cubica, anzi una curva ellittica. Fu Frey a osservare che tenuto conto della relazione (*), questa curva ellittica, se esisteva, doveva avere proprietà aritmetiche molto particolari. Anzi una tale curva avrebbe fornito un contresempio ad un'altra congettura: la congettura di Taniyama-Shimura (questo fu dimostrato da Ribet usando risultati di Serre). A questo punto (siamo più o meno nel 1990), per dimostrare Fermat, basta dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura. Wiles ha dimostrato solo una parte della congettura di Taniyama-Shimura ("per le curve semi-stabili"), ma questo basta per dimostrare Fermat in quanto la curva ($) sarebbe "semi-stabile". Mi è impossibile spiegare qui la congettura di Taniyama-Shimura, ma è una congettura veramente fantastica...
La dimostrazione della congettura di Fermat usa strumenti molto sofisticati della
matematica moderna (curve ellittiche, forme modulari, teoria delle rappresentazioni di
Galois, anelli di Gorenstein, ecc, ecc...)
La dimostrazione della congettura di Fermat non ha alcuna applicazione pratica immediata
(dal quel giorno non è nato, tanto per dire, nessun nuovo computer ultra-potente).
Però il lavoro svolto negli ultimi tre secoli per risolvere questo problema ha permesso
lo sviluppo di intere branche della matematica i cui frutti si sono già visti e si
vedranno, sempre di più, nei prossimi anni. Ed è per questo che la congettura di Fermat
era un problema "centrale" della matematica: non importa tanto il risultato, ma
piuttosto i metodi per arrivarci. Era chiaro da tempo che solo la creazione di metodi
completamente nuovi avrebbe permesso di raggiungere la soluzione ed era anche chiaro che
chi sarebbe riuscito a risolvere la congettura di Fermat, avrebbe risolto, con gli stessi
strumenti, una miriade di altri problemi (ed è proprio successo così).
Dopo la risoluzione della congettura di Fermat, cosa rimane? Ci sono tanti problemi aperti
(per esempio la congettura di Goldbach, ma anche tanti altri...e non solo in aritmetica),
ma, per i matematici, il prossimo Graal, è senz'altro la congettura di
Riemann.
