ProbleMATEMATICAmente 2003-2004

Soluzioni al problema di Novembre 2003

Il problema di novembre era il seguente:

Si consideri un cubo di spigolo unitario e una sua diagonale PQ (P e Q sono vertici opposti).
Si determini il valore minimo ed il valore massimo dell'area della figura che risulta dalla intersezione fra il cubo e un piano passante per PQ.

Hanno inviato soluzioni:

• Flavia Vincenzi, Classe V del Liceo Scientifico "B. Pascal" di Merano (BZ)

• Marta Bisson, Classe V A del Liceo Scientifico "G. Falcone" di Asola (MN).

• Un gruppo di allievi del Liceo Scientifico "P. Farinato" di Enna (di cui attendiamo ancora... di conoscere i nomi).

• Andrea Bidoli, Classe V A del Liceo Scientifico "M. Grigoletti" di Pordenone.

Commento

Le prime due risoluzioni inviateci - in particolare quella di Flavia Vincenzi - sono corrette e presentate in modo chiaro ed esauriente.
Flavia Vincenzi risolve il problema ricavando l'area della sezione (un parallelogramma); usa il teorema di Carnot per eliminare il coseno di un angolo. Conclude poi l'analisi del problema con la funzione "area della sezione al quadrato" (una parabola) espressa in funzione della misura di un segmento.

Marta Bisson imposta il problema nello stesso modo, calcolando l'altezza del triangolo (metà del parallelogramma sezione) mediante due applicazioni del teorema di Pitagora (che è equivalente ad usare il teorema di Carnot). All’inizio era opportuno spiegare inizialmente perché la sezione e' sempre un parallelogramma. Trova correttamente la funzione e conclude ragionando sulla "altezza al quadrato" di un triangolo (una parabola).
Riguardo a quest'ultima risoluzione dobbiamo ribadire che i testi che ci inviate devono essere scritti usando un programma di videoscrittura (è consigliato Word) e un adeguato "editor" per le equazioni (e non inviati in forma manoscritta, come immagine acquisita da "scanner"...).

La soluzione inviata dal gruppo di allievi del Liceo Scientifico "Farinato" di Enna non è completa perché si limita a indicare qual è la posizione del piano che permette di ottenere la sezione massima e quella minima. Manca una dimostrazione completa di quanto è stato osservato.

La risoluzione inviata da Andrea Bidoli merita un discorso a parte. Andrea imposta la soluzione del problema partendo da un disegno ottenuto con il metodo delle proiezioni ortogonali. Pensa quindi ad un cubo in cui la diagonale PQ è perpendicolare al piano orizzontale. Nel piano orizzontale, pertanto, ottiene che la proiezione del cubo è sempre un esagono regolare. Considera quindi, come variabile, l'angolo di rotazione del cubo attorno alla diagonale e cerca di trovare l'area della sezione in funzione di questo angolo (cosa non richiesta e di non facile espressione). Inoltre, invece di considerare soltanto l'area della sezione, studia l'area totale dei due poliedri (simmetrici rispetto al centro del cubo) ottenuti tramite il piano passante per la diagonale PQ. Accettando comunque questo modo di intendere il testo del problema, trova correttamente l'area totale massima dei due poliedri (3+), ma incorre in un errore nel calcolo dell'area minima (perché pensa che il parallelogramma di area minima sia un rettangolo).

Ringraziamo gli studenti che hanno mandato le loro soluzioni e gli insegnanti che hanno proposto il problema in classe.

Considerazione finale: per il problema proposto in Novembre abbiamo ricevuto poche risposte. Non sappiamo se questo sia dovuto all'argomento del problema, che era la geometria dello spazio, tema purtroppo non sempre affrontato nella scuola superiore.