ProbleMATEMATICAmente - Marzo 2002

Soluzione di: Enrico Tombetti – 4^a C - LS "Leonardo da Vinci" – Gallarate VA

Siccome i triangoli AED ed EAB hanno la stessa base EA e sono equiestesi, dovranno avere le loro altezze congruenti. Perciò B e D si troveranno su una retta parallela alla base EA che dista 2/EA da essa.

Per analogia, considerando i triangoli CDE ed EAD, con base comune ED, si deduce che i punti A e C devono trovarsi su una retta parallela ad ED.

Per ulteriore analogia, considerando i triangoli EAB e ABC, con base comune AB, si deduce che i punti E e C devono trovarsi su una retta parallela ad AB.

Val la pena di osservare che esistono infiniti pentagoni che soddisfano i requisiti in ipotesi: partendo dal lato EA, scelti B e D sulla parallela distante 2/EA, basta che il punto C sia scelto come punto di intersezione tra la parallela a ED per A e la parallela ad AB per E. Immaginando di far scorrere il punto D (o il punto B) sulla retta BD si nota che C si sposta rispetto ad EA sia in direzione parallela che normale. Per rispettare la convessità del pentagono ci si deve limitare a posizioni di C che non siano sullo stesso lato di EA rispetto a BD.

L’area del pentagono è pari alla somma delle aree dei tre triangoli CDE, ABC e ACE. I primi due hanno ciascuno area uguale ad 1 per ipotesi, ACE ha altezza uguale o superiore a 2/EA per cui la sua area è uguale o superiore ad 1.

Pertanto l’area del pentagono ABCDE è uguale o superiore a 3.