ProbleMATEMETICAmente - Marzo 2002

Soluzione di : Jacopo D'Aurizio - 4A PNI L.S. "R.Mattioli" - Vasto (CH)

Lemma [A]

Sia ABCD un trapezio (AB//CD) e sia E il punto d'intersezione delle sue diagonali. Si ha

1. ABD =3D ABC (triangoli stessa base e identica altezza)
2. AED =3D BEC (sottraendo AEB ambo i membri)
3. ADC =3D DCB (sommando CED ambo i membri)

Preso un segmento AE, tracciamo la parallela r ad AE in modo che si abbia, detta d la distanza tra AE ed r,

AE*d =3D 2

Prendiamo un punto C nel piano in modo che C ed A stiano da parti opposte rispetto a r.

Tracciamo la parallela a CE per A fino a intersecare r in B, e tracciamo la parallela ad AC per E fino ad intersecare r in D.

Avremo innanzitutto

AED =3D  BAE =3D  AE*d/2 =3D 1

AECD e AECB sono trapezi per costruzione, in virtù del lemma [A] avremo quindi CDE =3D DEA e CBA =3D BAE

il pentagono ABCDE godrà quindi della proprietà richiesta dal problema. La sua area, essendo strettamente dipendente dalla posizione del punto C, non assumerà un valore fisso, bensì varierà tra 3 (C preso su r) e infinito.

Se C viene preso tra AE ed r otteniamo un pentagono concavo, se C viene preso su AE otteniamo un pentagono degenere in una retta.

That's all.

NdR : Siamo proprio sicuri che il triangolo BCD non dovesse avere, anch'esso, area 1 ?