ProbleMATEMATICAmente - Aprile 2001
Il problema di aprile era:
Un numero naturale che è contemporaneamente un quadrato e un cubo è un multiplo di 7, oppure il resto della sua divisione per 7 è esattamente 1.
Sono arrivate sette risposte:
Di queste, tre sono corrette.
In particolare segnaliamo quella di Enrico Tombetti e quella della classe 3A, che, pur se leggermente diverse, sono entrambe ben esposte.
Dobbiamo però osservare che il fatto che i numeri in questione fossero delle seste potenze, pur se abbastanza evidente, andava dimostrato: la dimostrazione si basa sul Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Questo risultato, dovuto a Euclide, assicura che ogni numero naturale può essere scritto in modo unico come prodotto di fattori primi. "In modo unico" significa che sono unici sia i numeri primi che compaiono nella scomposizione, sia i loro esponenti
Quando n è un quadrato, allora tutti gli esponenti sono divisibili per 2, ei = 2fi.
Allo stesso modo, se è un cubo, si ha ei = 3gi.
Mettendo assieme le due relazioni si ottengono le equazioni 2fi = 3gi. Dal momento che 2 e 3 non hanno fattori comuni, segue, ad esempio, che fi è un multiplo di 3 e quindi ei è un multiplo di 6. Abbiamo così mostrato che n è effettivamente una sesta potenza.
Può essere interessante ricordare che il problema di aprile è un caso particolare del Piccolo Teorema di Fermat (una trattazione si trova a pagina 76 di Courant, Robbins, Che cos'è la matematica?, Bollati Boringhieri), che dice che nella divisione per p ogni potenza (p-1)-esima dà resto 0 oppure 1, quando p è un numero primo.