ProbleMATEMATICAmente - Aprile 2001

Classe 3A programmatori, ITG Ruffini, Imperia

Se un naturale è del tipo a²=b³ , allora può essere scritto nella forma (c²)³ = (c³)² ovvero è la sesta potenza di un naturale c. Si possono presentare i seguenti casi:

• c è divisibile per 7 dunque c⁶ è multiplo di 7
• c nella divisione per 7 ha come resto 1 oppure 2 o 3 o 4 o 5 o 6.

Dunque c=7m+r con 1£ r £ 6.

Applicando la formula della potenza di un binomio secondo Newton, abbiamo:

(7m+r)6 =

Tutti gli addendi tranne l’ultimo sono divisibili per 7, dunque il resto della divisione (7m+r)⁶:7 è il resto di r⁶:7.

Esaminiamo i sei casi:

r=1 1⁶:7=0 resto1

r=2 2⁶:7= 9 resto1

r=3 3⁶:7=104 resto1

r=4 4⁶:7=585 resto1

r=5 5⁶:7=2232 resto1

r=6 6⁶:7=6665 resto1 c.v.d.

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