ProbleMATEMATICAmente - Aprile 2001
Enrico Tombetti, Classe 3 C - L.S. "Leonardo da Vinci" - Gallarate (VA)
Un numero naturale che è contemporaneamente un quadrato e un cubo è del tipo n6, con n e N. La sua radice quadrata è n3, la sua radice cubica è n2.
n6 ed n sono scomponibili negli stessi fattori primi (solo gli esponenti sono diversi). Pertanto se n6 è divisibile per 7, cioè è multiplo di 7, anche n è divisibile per 7.
Se n6 non è divisibile per 7, neanche n è divisibile per 7 e si presenta uno dei tre casi seguenti:
dove k è un numero intero e si escludono i valore negativi per n.
Quanto sopra discende dall’osservazione che ogni numero naturale può essere ottenuto sommando o sottraendo ad un multiplo di 7 un numero naturale minore o uguale a 3.
Costruiamo la seguente tabella:
Caso |
n |
n6 |
n6-1 |
1 |
7k 6 1 |
76k6 6 6. 75k5+15. 74k46 20. 73k3+15. 72k26 6. 7k+1 |
76k66 ...6 6. 7k |
2 |
7k 6 2 |
76k66 6. 75k5. 2+15. 74k4. 46 20. 73k3. 8+15. 72k2. 166 6. 7k. 32+64 |
76k66 ...+63 |
3 |
7k 6 3 |
76k66 6. 75k5. 3+15. 74k4. 96 20. 73k3. 27+15. 72k2. 816 6. 7k. 243+729 |
76k66 ...+728 |
La colonna di n6 è ottenuta con le regole dell’elevamento alla sesta potenza di un binomio, utilizzando il triangolo di Tartaglia per i coefficienti.
Se consideriamo l’ultima colonna notiamo che tutti i termini letterali sono divisibili per 7 così come lo sono i termini noti 63 e 728. Pertanto n6-1 risulta sempre divisibile per 7 in tutti tre i casi.
Ne segue che il resto della divisione di n6 per 7 è esattamente 1 in tutti i casi in cui n6 non è divisibile per 7.