A.G.a.Fe (Algebraic Geometry at
Ferrara)
Primi trattati e memorie
sulle funzioni ellittiche
Dopo
i risultati ottenuti da Abel e Jacobi attinenti la teoria delle funzioni
ellittiche, altri matematici si occuparono di tali questioni e vari i trattati
sul’argomento cominciarono ad apparire a partire dalla metà del XIX secolo.
Per
la diffusione della teoria delle funzioni ellittiche, furono importanti, le
lezioni che Liouville tenne presso
l’Accademia delle Scienze di Parigi nel 1847. In tali lezioni egli, sviluppò la
teoria delle funzioni ellittiche come funzioni meromorfe su 
doppiamente
periodiche, senza ricorso al calcolo integrale complesso di Cauchy.
Un
altro passo in avanti fu compiuto da Charles
Hermite (1822–1901) che pose le basi per l’applicazione del calcolo dei
residui allo studio delle funzioni ellittiche nella memoria Sur la théorie de fonctions ellipitques.
Purtroppo però di questa memoria fu pubblicato soltanto l’annuncio nei Comptes
rendus de l’Académie des Sciences (vol. XXIX) del 1849.
Nell’ottica
delle lezioni di Liouville è il libro di Auguste
Charles Briot e Claude Bouquet , Théorie
des fonctions doublemente périodiques et, in particulier, des fonctions
elliptiques (Paris 1859), anche se qui vi è un esplicito ricorso ai risultati di
Cauchy ed al teorema dei residui seguendo le indicazioni di Hermite. Quest’opera
di Briot e Bouquet, entrambi allievi di Cauchy e Liouville, fu per lungo tempo
il trattato di riferimento per lo studio delle funzioni ellittiche. Il trattato
conobbe una seconda edizione nel 1875.
Il
primo matematico ad avere l’idea di costruire funzioni ellittiche mediante una
serie fu Ferdinand
Gotthold Max Eisenstein (1823–1852) nel 1840, idea che sviluppò nella memoria
Beiträge zur Teorie der ellptischen
Funktione [Journal fur die Reine und Ang. Math. 35, 1847, 152–247]. In
essa egli dimostrò che le funzioni doppiamente periodiche possono essere
ottenute mediante serie del tipo
alle
quali fu probabilmente indotto dal noto sviluppo 
[Euler, Introductio in Analysin
Infinitorum, 1748, p. 191].
Le
serie introdotte da Eisestein non erano però convergenti in modulo ed è forse
per questo motivo che Weierstrass ignorò l’originale lavoro di Eisestein, ma,
d’altra parte, è evidente che le serie alle quali pervenne Eisenstein sono
sostanzialmente quelle da cui partì Weierstrass per definire la sua funzione 
.
Importante
sono le opere: Theorie der Modular-Functionen und der
Modular-Integrale del
1844 di Gudermann, An elementary Tratise on Elliptic Functions del 1876 di Arthur
Cayley, (Cambridge-London) ( traduzione italiana Trattato elementare delle funzioni
ellittiche del 1880 di Brioschi), Memoire sur la theorie des
fonctions algebriques de deux variables indépendantes del 1889 di Emilé
Picard (1856–1941).
Occupa
un posto fondamentale nello studio delle singolarità, il trattato di Felice
Casorati (1835–1890]) Teorica delle funzioni
di variabili complesse (Pavia, 1868). Egli fu fortemente influenzato da
Riemann e nel suo libro tentò di combinare la teoria di Cauchy con le idee di
Riemann. La trattazione delle singolarità isolate eseguita da Casorati nella Teorica, comprende le singolarità
all’infinito. Egli chiama infiniti
(come del resto faceva Abel) i poli e divide i punti di discontinuità (cioè le altre singolarità che non sono né
poli né singolarità rimovibili) secondo che siano o no separate dagli infiniti, nel primo caso cadono le singolarità
essenziali nel secondo caso le singolarità che sono punti di accumulazione di
poli.
Ricordiamo anche il Traité d’analyse
in tre volumi dal 1891–1896 di Emilé
Picard, e l’estesa
memoria Sur la représentation analytique
des functions monogènes uniformes d’une variable indépendante [Acta Math.
4, (1884)] di Magnus
Gosta Mittag-Leffler (1846–1927).
Progetto: Andrea Del Centina Realizzazione: Francesca Braga