A.G.a.Fe
(Algebraic Geometry at Ferrara)
Il problema di inversione
degli integrali abeliani:
il contributo di Riemann
Con il 1850 ha termine il primo periodo di
sviluppo della teoria delle funzioni. Un nuovo periodo di scoperte nella teoria
delle funzioni algebriche, dei loro integrali e delle funzioni inverse è dovuto
a Riemann. In realtà egli elaborò una
teoria molto più vasta, quella delle funzioni a più valori, che erano state
fino ad allora sfiorate da Cauchy e
da Puiseux,
e apri in tal modo la via ad un certo munsero di progressi diversi. Riemann fu
allievo di Gauss e di Weber.
Arrivò a Gottingen nel 1846 per studiare teologia , ma ben presto si volse alla
matematica. Quattro importanti lavori di Riemann pubblicati nel Journal fur die
reine angewandte mathematik, sono dedicati principalmente agli integrali e alle
funzioni abeliane. Il quarto di questi fu quello che diede maggior impulso
all’argomento. Riemann infatti, mise insieme le ricerche di Abel e Jacobi, che
derivavano in gran parte dalle funzioni reali e la trattazione di Weierstrass, che usava le funzioni complesse. Avendo
chiarito il concetto di funzioni a più valori, Riemann era anche in grado di
essere più chiaro circa gli integrali abeliani.
Infatti, il problema dell’inversione degli integrali abeliani di prima
specie fu studiato dapprima da Jacobi nel caso iperellittico. Dopo il tentativo
fallito di invertire un singolo integrale comprese che questa non era la via da
seguire, e nel 1832 [J, II p. 5–16] pose il problema nella giusta prospettiva
suggeritagli dal teorema di Abel. Infatti nel Remarques
sur quelques propriétés générales d’une certaine sorte de fonctions
trascendantes [Abel,
Oeuvres complétes 2me ed. 1881, I, p. 451], posto p il massimo intero contenuto in (n−1)/2 (ossia
il genere della curva iperellittica C, n = deg χ(y)), Abel aveva provato
che per gli integrali del tipo
dove q(x) è un qualsiasi polinomio di grado 
, l’espressione algebrico-logaritmica υ si
riduceva a una costante, e Jacobi posto
,
enunciò il “teorema di inversione”: dati u0, ..., up−1 determinare le x0, ..., xp−1 in funzione di u0, ..., up−1. Se p = 1 si ha l’inversione dell’integrale
ellittico di prima specie, che dà luogo alle funzioni ellittiche; in generale
il processo di inversione dà luogo a funzioni meromorfe di p variabili complesse aventi 2p periodi indipendenti.
Il problema di inversione fu risolto nel caso p = 2 da A. Goepel
(1847) e da J.G. Rosenhain
(1851) indipendentemente, e per ogni valore del genere da Weierstrass in una
memoria del 1854 [Mathematische Werke, I, p. 133–152], nella quale il
teorema di addizione di Abel ebbe un ruolo determinante.
Il problema di inversione generale (cioè per χ(y) qualsiasi, ma irriducibile) fu risolto nel 1857
da Riemann in Theorie der
Abelschen Functionen [Oeuvres mathématiques, Gauthier-Villars 1898, p. 88–144].
Qui, per trattare con le funzioni algebriche ed i loro integrali,
Riemann utilizzò il concetto “superficie di Riemann” di una funzione algebrica,
nel senso di una superficie a più fogli X che riveste 
(concetto da lui sviluppato già nel 1851),
e la definizione delle funzioni theta generali, che sono
certe funzioni intere di p variabili, (già
introdotte da Goepel limitatamente al caso p = 2). Nella stessa memoria Riemann dimostrò anche che
il numero m − r di Abel coincideva col numero p dei differenziali olomorfi linearmente indipendenti
su X e col “genere topologico” di X, concetto che lui stesso aveva introdotto. Uno dei
punti salienti nella trattazione di Riemann fu l’uso dell’espressione 
per rappresentare i
differenziali olomorfi già introdotta da Abel nella memoria parigina, dove ora
però q(x, y) è un
“polinomio aggiunto” (soggetto a certe condizioni lineari dipendenti
dalle singolarità di C) di grado n − 3.
La memoria di Riemann sulle funzioni abeliane evitò il linguaggio
geometrico. Soltanto a partire dal 1863 R.A. Clebsch
in [Uber die Anwendungen der Abel’schen Funktionen in
der Geometrie, J. Fur die reine und
Ang. Math., 63 (1864)], iniziò a stabilire un legame tra i risultati di Riemann sugli
integrali abeliani e la Geometria proiettiva delle curve algebriche piane, che
nella prima metà dell’800 si era fortemente sviluppata ad opera di Poncelet,
Chasles,
Cayley,
Plucker
ed altri. Le applicazioni geometriche del teorema di Abel fatte dal Clebsch,
anche in successivi lavori, attirarono, a partire dal 1870, una schiera di
giovani matematici tra i quali: A. Brill
e M.
Noether in Germania, G.
Halphen in Francia, L.
Cremona, E.
Bertini e C.
Segre in Italia, che dettero vita ad un’attiva scuola di Geometria
birazionale. In particolare l’idea di Abel di considerare “gruppi di punti”
(divisori) variabili su C, dati dalle
intersezioni di C con la famiglia
razionale di curve 
, si trasformò nel concetto di “serie lineare”, concetto che,
specialmente nell’ambito della “Scuola italiana”, avrà un ruolo importantissimo
nello studio delle curve e delle superficie algebriche [Brigaglia A., Ciliberto
C., Pedrini C., The Italian School of
Algebraic Geometry and Abel’s legacy, in “The legacy of Niels Henrik Abel, the
Bicentennial Conference”, Oslo June
3-8, 2002, eds. O.A. Laudal
and R. Piene, Springer].
La risoluzione del problema di inversione e le funzioni theta permisero successivamente di
associare ad ogni curva algebrica un gruppo abeliano, detto varietà Jacobiana, che risultò di
fondamentale importanza per ulteriori sviluppi della teoria delle curve
algebriche, e di fondare la teoria delle funzioni abeliane, ossia delle funzioni meromorfe di p variabili aventi 2p periodi indipendenti,
che trovò (e trova) molte applicazioni nello studio delle varietà algebriche a
più dimensioni.
“Abel” scrisse C. Hermite “lasciò abbastanza lavoro per 150 anni” [Histoire de la Science, in Enciclopédie de la
Pléiade 1957, p. 630]. Ma Hermite sbagliò per difetto! Nel 1976, esattamente
150 anni dopo la presentazione della memoria parigina, il lavoro fondamentale
di P. Griffiths Variation on a theorem
of Abel
[Inventiones 35 (1976)], ha aperto nuove vie di applicazione del teorema
di addizione.
Progetto: Andrea Del Centina Realizzazione: Francesca Braga