La teoria dei numeri ossia lo studio delle proprietà dei numeri naturali (i.e. 0,1,2,3,..) è iniziata con gli antichi Greci: Pitagora (-500), Euclide (-300), Diofante (150). Gli antichi Greci non disponevano del nostro sistema di numerazione, per loro i numeri avevano un supporto geometrico. Per esempio 5² era il numero di punti in un quadrato di lato 5 punti. Malgrado questo handicap notevole gli antichi Greci hanno ottenuto risultati importanti.

Ecco per esempio come stabilivano la formula 1+2+3+...+n = n(n+1)/2, la quale per n = 100 fornisce: 1+2+3+...+100 = 5050 (questa era, si pensa, quello che avrebbe detto Buttner)

Nel caso di 1+2+3+4+5:

i numeri sono rappresentati da striscioline rettangolari.

La somma 1+2+3+4+5 è rappresentata da un triangolo (in blu).

Dopodichè:

si completa con le striscioline verdi per ottenere

un quadrato di lato 5. Vediamo così che (1+2+3+4+5) + (1+2+3+4) = 5².

Questa costruzione è assolutamente generale:

    Quindi se S_n = (1+2+3+...+n), abbiamo:

        S_n + S_n-1 = n².

    Aggiungendo n ad ambo i membri:

     S_n + S_n-1 + n = n² + n.

    ma  S_n-1 + n = (1+2+3+...+(n-1)) + n = S_n.

    Quindi 2.S_n = n² + n;

pertanto S_n = (n² + n)/2, e la formula è dimostrata.

L'idea del giovane Gauss per calcolare 1+2+3+...+100, invece funziona così:

si osserva che i numeri fino a 100 possono essere accopiati simmetricamente rispetto a 50 con somma uguale a 100:

0 + 100 = 100

1 + 99 = 100

2 + 98 = 100

......................

48 + 52 = 100

49 + 51 = 100

Abbiamo 50 coppie di somma 100, per un totale di: 50 x 100 = 5000, e poi avanza 50, quindi 1+2+3+...+100 = 5050.

Elementare e molto elegante!

Seguendo quest'idea provate a dimostrare la formula generale 1+2+...+n = n(n+1)/2.

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