Iniziamo col scegliere un punto, O, sulla nostra curva (questo punto farà la parte dello zero).
Dati due punti P e Q consideriamo l'unica retta passante per P e Q; come detto prima, questa retta interseca la cubica in 3 punti, due di questi sono P e Q, il terzo lo notiamo P*Q ("terzo punto" di P e Q). Adesso consideriamo l'unica retta che passa per O e il punto P*Q, questa retta interseca la cubica in 3 punti, due di questi sono O e P*Q, il terzo è il punto P+Q, la somma di P con Q.
Se P = Q, si considera all'inizio l'unica tangente alla curva nel punto P, la tangente interseca la curva in tre punti (contati con molteplicità), due di questi sono il punto P contato due volte, il terzo è P*P. La tangente in P è una tangente di flesso se e solo se P*P = P.
E' chiaro che: P + Q = Q + P (questa addizione è "commutativa").
Vediamo adesso che con questa definizione il punto O gioca proprio la parte dello zero.
1) Per ogni punto P sulla cubica: P + O = P.
Infatti per calcolare P + O bisogna prima considerare l'unica retta, r, passante per P e per O, questa retta interseca in un terzo punto: P*O. Poi bisogna considerare la retta passante per O e per P*O, ma questa è sempre la retta r. La retta r interseca la cubica in tre punti: P, O, P*O; quindi il terzo punto (relativamente a O, P*O) è P. Questo dimostra P + O = P.
2) Per ogni punto Q sulla cubica esiste un punto -Q tale che: Q + (-Q) = O.
Consideriamo la tangente alla cubica nel punto O, la tangente interseca la cubica in tre punti: il punto O contato due volte e il "terzo" punto S = O*O. Adesso consideriamo il terzo punto della retta passante per Q e S; questo terzo punto lo chiamiamo -Q.
Verifichiamo che Q +
(-Q) = O.
Consideriamo la retta passante per Q e -Q; questa retta interseca la cubica in tre punti: Q, -Q e S, quindi -Q*Q = S.
Adesso consideriamo la retta per S e O, per come l'abbiamo costruita, sappiamo che è la tangente in O; quindi interseca in S e O contato due volte, perciò il "terzo punto" di S e O è O. Questo dimostra Q + (-Q) = O.
Si può anche mostrare che la nostra addizione gode di un'altra proprietà ("associatività") che conosciamo bene: P + (Q + R) = (P + Q) + R, per ogni terna di punti P, Q, R sulla cubica. La verifica di questo fatto è piuttosto difficile.
Possiamo quindi addizionare i punti della cubica secondo le stesse leggi che usiamo per addizionare i numeri interi (positivi e negativi).
Usando l'equazione della curva e le coordinate dei punti, si può tradurre questa addizione in formule assai complicate e .
La congettura di Fermat
