Lo studio della simmetria porta ad una delle più affascinanti applicazioni della teoria dei gruppi. In particolare ci interesseremo di studiare la simmetria delle figure piane in termini di gruppi di movimenti rigidi del piano (isometrie).

Tra le figure piane esistono 4 simmetrie base rappresentate dalle seguenti figure:

Simmetria bilaterale

Simmetria radiale

Simmetria di traslazione

Glisso-riflessione

Altre figure, come ad esempio quelle delle carte da parati, hanno più simmetrie combinate tra loro. Ad esempio la figura seguente ha due simmetrie di traslazione tra loro indipendenti:

Con Isom(E) indicheremo il gruppo delle isometrie del piano E.
possiamo suddividere le isometrie in 2 classi generali: le isometrie pari e quelle dispari. Le prime sono quelle che preservano l'orientamento, mentre le seconde sono quelle che lo invertono. Possiamo usare questa partizione di Isom(E) per definire un omomorfismo

Isom(E) --> { +1 , -1 }.
All'interno di queste 2 classi poi, possiamo dare una classificazione più fine:

TEOREMA
Un'isometria pari del piano è o una rotazione, cioè una rotazione di angolo z attorno a qualche punto, o una traslazione, vale a dire un movimento parallelo del piano di vettore a. Un'isometrie dispari è invece un glisso-riflessione, vale a dire un'isometria ottenuta da una riflessione, di retta k, seguita da una traslazione t di vettore parallelo a k. Nel caso in cui t = Id, si parla semplicemente di rilfessione.
Dim

Identifichiamo E con lo spazio R² dei vettori colonna, scegliendo un sistema di coordinate. Come generatori del gruppo delle isometrie di R² prendiamo le traslazioni, le rotazioni con centro nell'origine e la riflessione fatta rispetto l'asse x₁ (cioè l'asse delle ordinate):

t, traslazione di vettore a:
v_z, rotazione di angolo z attorno all'origine:
r, riflessione rispetto l'asse x₁:

Le rotazioni v_z e la riflessione r fissano l'orignine, sono quindi operatori ortogonali di R², cioè v_z,r appartengono a O(R²).
Ovviamente t_a, v_z e r non sono tutti gli elementi di Isom(R²), per esempio non ci sono rotazioni attorno ad un punto che non sia l'origine o riflessioni rispetto altre rette che non siano l'asse delle ascisse. Tuttavia essi generano il gruppo: ogni elemento di Isom(R²) è prodotto di tali elementi. Un'isometria s può essere ottenuta componendo gli elementi base:

s = t_a v_z oppure s = t_a v_z r
per qualche vettore a e angolo z (al limite anche zero). Infatti:

LEMMA
Un'isometria dello spazio euclideo E è una affinità. Più precisamente se s: E --> E è un'isometria, allora s = t_a P, dove P è un'isometria vettoriale (appartiene a O(E)) e t_a è una traslazione di vettore a.

La decomposizione s = t_a P è unica P è detta Linearizzazione di s, e la indicheremo con s'.
La linearizzazione induce un'applicazione

f: Isom(E) --> O(E)
s --> s'
Osserviamo che s' = Id se e solo se s è una traslazione, questo ci da la successione esatta:

Sia G un gruppo arbitrario di isometrie di E, l'insieme

L(G) = { e in E | t_e in G }

forma un sottogruppo additivo di E detto gruppo dei vettori di traslazione di G. Restringiamo l'applicazione f a G, l'immagine di G tramite linearizzazione la indicheremo con G' ed è detta point-group di G.
Questi gruppi formano una successione esatta:

DEFINIZIONE
Un sottogruppo G di Isom(E) è detto cristallografico se il gruppo L(G) dei vettori di traslazione di G è un reticolo in E, cioè se L(G) è generato da due vettori linearmente indipendenti.

Analizziamo ora Isom(R²) e due suoi sottogruppi, uno è O(R²), il gruppo degli operatori ortogonali, l'altro è il gruppo delle traslazioni, che indicheremo con T. Scegliendo un sistema di coordinate in R² abbiamo la corrispondente corrispondenza biunivoca:

R² --> T a --> t_a
Questo è un isomorfsmo tra il gruppo additivo (R²)⁺ e il sottogruppo T, infatti t_a t_b = t_a+b. L'omomorfismo

f: Isom(R²) --> O(R²) t_a v_z --> v_z t_a v_z r --> v_z r

ha come nucleo il gruppo T. Quindi T è un sottogruppo normale di Isom(R²) ed è possibile definire un omomorfismo da Isom(R²) in T.
Gli elementi di O(R²) sono operatori lineari. Dopo aver scelto un sistema di coordinate possiamo associare ad un elemento s di O(R²) la sua matrice. Facendo questo otteniamo un isomorfismo tra O₂ e O(R²), dove ovviamente O₂ è il gruppo delle matrici ortogonali 2x2 in O(R²).
Si possono dimostrare i seguenti lemmi.

LEMMA
Le isometrie vettoriali di G' conservano il reticolo L, cioè per ogni g di G' è g(L) = L.

LEMMA
Un gruppo, G', di isometrie vettoriali che lascia fisso un reticolo è finito.
Dim

Queste osservazioni ci portano a dimostrare la seguente proposizione.

PROPOSIZIONE
Un sottogruppo cristallografico G di Isom(R²) è discreto.

Infatti, se un sottogruppo G di Isom(R²) ha un sottogruppo T di indici finiti in G, che è discreto, allora il gruppo G stesso è discreto: semplicemente osserviamo che G è unione di un numero finito di gT, con g elemento di G. Per un gruppo cristallografico questo discorso si applica al sottogruppo delle traslazioni T.

Il point-group G' è isomorfo a G/T. Sappiamo che G' è finito, quindi possiede un numero finito di elementi (g₁,...,g_n). Quindi possiamo scrivere G come unione disgiunta degli elementi g_iT con i = 1,...,n.

Essendo i g_iT discreti e essendo in numero finito, anche G è discreto.

TEOREMA
G', sottogruppo finito del gruppo O(R²), è uno dei seguenti gruppi:

G' = C_n, il gruppo ciclico di ordine n generato da una rotazione v_z, dove z è pari a 2/n per pi-greco.
G' = D_n, il gruppo diedrale di ordine 2n generato dalla rotazione v_z, con z come sopra, e dalla rilfessione r', fatta rispetto una retta passante per l'origine.
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La restrizione cristallografica limite le possibilità per n ai casi

n = 1, 2, 3, 4 o 6.

Classificazione

Gruppi cristallografici in dimensione due sono ad esempio i gruppi delle simmetrie di disegni come quelli delle carte da parati (in questo caso si parla di wallpaper-groups) e i gruppi delle simmetrie dei cristalli bidimensionali.
Il fatto che una figura si ripeta in due diverse direzioni si riflette nel fatto che il suo gruppo di simmetria contiene due traslazioni fra loro indipendenti; ciò mostra che L(G) è un reticolo. Ma esso può anche contenere altri elementi, (rotazioni, riflessioni, glisso-riflessioni), ma la restrizione cristallografica limita le possibilità e ci permette di classificare i gruppi cristallografici bidimensionali in 17 tipi.

Prima di classificare i gruppi cristallorafici, daremo una classificazione dei reticoli. Essi si possono suddividere in 5 classi in base alla forma del parallelogrammo di base formato dai due vettori che generano il reticolo, a e b. A meno di rimpiazzare b con -b possiamo supporre che

| a - b | <= | a + b |.
Con questa ipotesi i differenti reticoli sono definiti come segue:

Obliquo, | a | < | b | < | a - b | < |a + b |

Rettangolare, | a | < | b | < | a - b | = | a + b |

Rettangolare centrato, | a | < | b | = | a - b | < | a + b |

Quadrato, | a | = | b | < | a - b | = | a + b |

Esagonale, | a | = | b | = | a - b | < | a + b |

Apparentemente sembra che abbiamo trascurato il caso:

| a | = | b | < | a - b | < | a + b |
Qui il parallelogrammo di base sarebbe stato un rombo. Le diagonali del rombo si incontrano formando angoli retti, quindi abbiamo ancora una volta una struttura rettangolare centrata i cui rettangoli hanno come base i vettori a - b e a + b.
Notazioni

Ogni gruppo cristallografico in dimensione 2 ("wallpaper group"), viene indicato con un nome che ha una simbologia internazionale che sfrutta i caratteri p, c, m, g e i numeri 1, 2, 3, 4, 6. La lettera p sta per primitive e si riferisce ad un reticolo fatto di celle primitive, cioè ad un reticolo formato da copie del parallelogrammo di base che non contengono al loro interno altri punti del reticolo. Solo nel caso in cui il reticolo è rettangolare centrale si parla di celle non-primitive e si usa c per indicare un reticolo centrato. Il simbolo m sta per mirror e indica una riflessione, g invece sta per glide e indica una glisso-riflessione. Infine 1 viene usato per la trasformazione identica e i numeri 2, 3, 4, 6 indicano rotazioni di ordini corrispondenti.

Dall'analisi dei reticoli e dei point-groups, si arriva a dimostrare che i gruppi cristallografici del piano si possono classificare in sole 17 gruppi.

Escher e il ricoprimento del piano

LEMMA	*Le isometrie vettoriali di G' conservano il reticolo L, cioè per ogni g di G' è g(L) = L.*
LEMMA	Un gruppo, G', di isometrie vettoriali che lascia fisso un reticolo è finito. Dim