Teorema: Una isometria pari del piano è o una rotazione (cioè una rotazione del piano di angolo z, diverso da 0, attorno ad un qualche punto), o una traslazione (quindi un movimento parallelo del piano di vettore a). Una isometria dispari è invece una glisso-riflessione, vale a dire una isometria ottenuta da una riflessione di retta k seguita da una traslazione, t, di vettore a parallelo ad k. Nel caso particolare in cui t=Id, si parla di riflessione. Quindi ogni isometria è o una traslazione, o una rotazione, o una glisso-riflessione, o una riflessione, o l'identità.
Osserviamo che una traslazione non lascia alcun punto fisso (a meno che il vettore a non sia il vettore nullo, ma in tal caso avrei l'applicazione identica). Anche una glisso-riflessione, essendo composta da una traslazione, non lascia alcun punto fisso. Al contrario una rotazione lascia invariato un solo punto, il centro della rotazione, mentre una riflessione lascia fissa un'intera retta, la retta di riflessione.
Dim Teorema:
Sia s un'isometria pari che non sia una traslazione. Vogliamo dimostrare che s è una rotazione attorno a qualche punto. È chiaro che un'isometria pari, cioè un'isometria che preserva l'orientamento, e che lascia fisso un punto p del piano è per forza una rotazione attorno a p. Quindi dobbiamo dimostrare che ogni isometria pari s che non è una traslazione, lascia fisso un punto. Sappiamo che possiamo esprimere s in questo modo:
s = ta vz
avendo escluso che s possa essere una traslazione sarà z diverso da 0. Useremo la seguente figura per determinare il punto fisso.
Sia l la retta passante per l'origine e perpendicolare ad a e sistemiamo il settore circolare di angolo z in modo che l sia la sua bisettrice. Il punto p viene determinato inserendo il vettore a nel settore circolare come indicato dalla figura. Per vedere che s fissa p, ricordiamo che viene applicata prima vz e poi segue ta.
Un altro modo per trovare il punto fisso è risolvere l'equazione x = ta vz (x) algebricamente rispetto x. Per definizione di traslazione ta (vz (x)) = vz(x) + a. Quindi l'equazione da risolvere è x - vz(x) = a.
Dimostriamo ora che s = ta vz è una rotazione di angolo z attorno al punto fisso. Come abbiamo appena visto, il punto fisso è quello che soddisfa la relazione p = vz(p) + a. Allora per ogni x,
s(p+x) = ta vz(p+x) = vz(p+x)+a = vz(p) + vz(x) + a = p+vz(x).
Quindi s manda p+x in p+ vz(x). Quindi s è la rotazione attorno a p di angolo z, come richiesto.
Ora passiamo a dimostrare che una qualsiasi isometria dispari s = ta vz r è una glisso-riflessione o una riflessione, che possiamo sempre considerare una glisso-riflessione con vettore di traslazione nullo. Per farlo vedremo che esiste una retta l che viene mandata in se stessa da s e quindi s agisce su di l con una traslazione di vettore a appartenente ad l. Chiaramente un'isometria dispari che agisce in questo modo su una retta è una glisso-riflessione.
L'isometria vz r = r' è una riflessione rispetto una retta. Tale retta interseca l'asse delle acisse formando un angolo di z/2 nell'origine. Quindi si è il prodotto della traslazione ta e della riflessione r'. Ruotiamo le coordinate in modo che l'asse delle ascisse venga a coincidere con la retta di riflessione di r'. Allora r' diventa la nostra riflessione standard r, mentre la traslazione ta rimane una traslazione anche se le coordinate del vettore a sono cambiate. In questo nuovo sistema di coordinate è s = ta r.
Questa isometria manda la retta x2 = a2 /2 in se stessa tramite la traslazione che a (x1,a2 /2) fa corrispondere (x1+a1,a2 /2), quindi s è una glisso-riflessione rispetto questa retta.
