ProbleMATEMATICAmente 2002-2003

Problema di Gennaio 2003

Il testo del problema:

Dimostrare che il grafico della funzione a^x, con a>1, ha al più due punti di intersezione con il grafico della sua funzione inversa e determinare la condizione perché i due grafici non si intersechino.

(Suggerimento: si esamini inizialmente l'equazione: a^x = x ).

Abbiamo ricevuto soluzioni da:

(Selezionare i link seguenti per prelevare le soluzioni in formato Acrobat)

• Davide Amoretti, Manuel Donte, Manuela Fatone, Antonio Guarnaschella, Valerio Gugliotta, Sara La Gamba, Maurizio Oliveri, Luca Tallone, Classe III A Programmatori dell'ITCG "Ruffini" di Imperia.

• Filippo Cavallari e Alessandro Coglitore, Classe V D del Liceo Scientifico "Morgagni" di Roma.

• Simone Carli, Classe V A Programmatori dell'ITCG "Ruffini" di Imperia.

Le risposte ricevute non sono tutte complete; quella che più si avvicina alla soluzione richiesta è di Simone Carli, che ha partecipato più volte a questa rubrica di problemi e ringraziamo come nostro "aficionado".

COMMENTO

Il problema di Gennaio aveva dunque per tema la funzione esponenziale, la sua funzione inversa e i loro grafici. Il problema, dal punto di vista grafico, era molto intuitivo, ma quel che occorreva era una ... dimostrazione.

In ogni caso apprezziamo il lavoro fatto dagli studenti della Classe III A Programmatori ITCG "Ruffini" di Imperia che in un Laboratorio di Matematica, usando Derive, hanno tentato di trovare una soluzione grafica e intuitiva, mandandoci le loro osservazioni sui grafici della funzione esponenziale e logaritmica. Questo tentativo fatto, anche se non arriva alla soluzione - perché in realtà per rispondere adeguatamente al problema occorreva il calcolo differenziale - evidenzia che ci si può avvicinare alla soluzione anche in modo intuitivo, usando in particolare un software di matematica come Derive.

La soluzione inviata da Filippo Cavallari e Alessandro Coglitore, Classe V D del Liceo Scientifico "Morgagni" di Roma, risponde soltanto alla prima parte del nostro quesito e non individua qual e' la condizione per avere una, due o nessuna soluzione/i (con a>1). In questo caso gli allievi conoscevano già lo strumento necessario - il calcolo differenziale - che avrebbe permesso loro di arrivare ad una soluzione completa.

La soluzione più adeguata viene inviata dallo studente Simone Carli, Classe V A Programmatori ITCG "Ruffini" di Imperia (che ci manda anche un apprezzabile "foglio di lavoro" di Derive; alcuni calcoli per arrivare alla soluzione erano infatti un po' laboriosi e quindi Simone ha fatto bene ad usare Derive).

Come già fatto in un precedente messaggio (soluzioni di novembre 2002) ribadiamo che noi apprezziamo molto l'uso delle nuove tecnologie per la risoluzione dei problemi; in ogni caso dopo la fase di congettura e di scoperta occorre presentare la soluzione ottenuta in modo coerente e ragionato.

Un'estensione del problema

Si provi ad estendere il problema di Gennaio, senza la condizione a>1.
Aspettiamo le vostre soluzioni !

E  per finire - last but not least - ringraziamo gli insegnanti degli studenti citati sopra che, nonostante tutte le incombenze di fine I quadrimestre, hanno proposto nelle loro classi questo problema.
Ringraziamo in particolare, per gli utili suggerimenti, il prof. Cristiano Dané (LS Majorana di Torino), che aveva già sperimentato nelle sue classi questo problema in un'attività di laboratorio con l'uso del software matematico.

- Enrico Pontorno
- Luigi Tomasi