ProbleMATEMATICAmente - Gennaio 2002

Enrico Tombetti – 4a C - LS "Leonardo da Vinci" – Gallarate VA

Pongo a = angolo DCF

Per un dato valore dell’altezza AD, che pongo = k, studio come varia FC in funzione di a .

Ovviamente avremo 0 < a < 45°.

Si ha: FC = DC / cos(a )

DC = k / tg(2a )

FC = k / (tg(2a ) cos(a ))

FC = k (1 - tg2(a )) / (2sin(a ))

FC tende a + : per a che tende a 0, tende a 0 per a che tende a 45°.

Se calcoliamo la funzione derivata prima, troviamo:

FC’ = k ((-2(1+tg2(a ))tg(a ). sin(a )-(1-tg2 (a ))cos(a )) / (2sin2 (a ))

e, dopo alcuni passaggi:

FC’ = -(k/2). (1+2sin4(a ))/cos(a ). sin2(a ))

Ebbene, per 0 < a < 45° risulta sempre FC’ negativo e questo significa che FC decresce monotonamente da + : a 0.

FC funzione di a è una funzione iniettiva: per ogni valore di a c’è un solo valore di FC. Dunque può essere definita la funzione inversa nella quale per ogni valore di FC esiste un solo valore di a .

A questo punto torniamo a considerare il triangolo ABC dato. Per quanto appena visto se BE = CF allora gli angoli DCF e DBE sono uguali. Risultano quindi uguali gli angoli BCA e ABC e questo vuol dire che il triangolo ABC è isoscele sulla base BC.

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