Francesco D'Aurizio - 3A L.S. "R.Mattioli" - Vasto

Perfeziono il lavoro di mio fratello fornendovi una soluzione geometrica (quasi completamente) pura.

Prendiamo un triangolo ABC con AC>CB. Sia D la proiezione di C su AB. Tracciamo la bisettrice dell'angolo A.
Questa taglierà

CD in E
CB in G

Tracciamo la bisettrice dell'angolo B. Questa taglierà

AC in H
CD in F
AG in I

I sarà necessariamente l'incentro di ABC, in particolare
la retta per C e per I sarà bisettrice dell'angolo C.
Se CI taglia AB in J, notiamo che si ha

AJ > JB

poichè, per il teorema della bisettrice, AJ:AC=JB:BC
Visto che è anche

[A] ^CJA > ^CJB

applicando meccanicamente il teorema di Carnot otteniamo

[B] AI > IB

ma dalla [A] segue anche

^CJB < pi/2
pi/2 - ^B < ^C/2
^BCF < ^BCJ

il che vuol dire che i punti E ed F cadono all'interno dell'angolo ^BCJ. Alla luce di queste considerazioni possiamo quindi dire che dalla [B] segue, a maggior ragione

AI + IE > IB - IF

[C1] AE >> BF

Se avessimo posto come ipotesi iniziale AC<BC saremmo giunti, in modo perfettamente analogo, alla conclusione

[C2] AE << BF

Questo significa che per ottenere come tesi AE=BF dobbiamo partire, per il principio del terzo escluso, dall'ipotesi

AC = BC

In questo caso le rette

per C, I, J
per C, E, F

vengono a coincidere, così come vengono a coincidere i punti E ed F. La dimostrazione può ritenersi conclusa.