Hp: il triangolo ABC è equilatero

Th: CP = AP + PB

Dim.:

Si prolunghi il segmento AP tale che PD=PB. Si considerino ora gli angoli AOB e APB: essi insistono sullo stesso arco AB. Poichè l'angolo AOB=360-120=240 gradi, allora l'angolo APB= 240/2= 120 gradi.

Considerando il triangolo PBD, l'angolo BPD=180-120=60 gradi e poiché l'angolo PBD=PDB (PB=PD per costruzione), allora il triangolo PBD è equilatero.

Si considerino ora i triangoli CPB e ABD: PB=BD perché il triangolo PBD è equilatero; CB=AB per hp.; l'angolo PBC=ABD perché l'angolo ABP è in comune e l'angolo ABC=PBD=60 gradi.

Per il teorema sulla congruenza dei triangoli si ha perciò che il triangolo PCB=ABD. Di conseguenza CP=AD e poiché per costruzione AD=AP+PB, allora CP=AP+PB.

C.V.D.

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