PRIMA PARTE:

Ipotesi:

ABC triangolo equilatero,
P punto qualsiasi dell’arco AB della circonferenza circoscritta.

Tesi

Dimostrazione:

Sia x l’angolo e sia 2r il diametro della circonferenza circoscritta.

Per il teorema della corda, posso calcolare:

,

sfruttando l’angolo

   (NOTA BENE: nella formula precedente c'è un refuso. Al posto di 2/3 va letto 1/3) 

sfruttando l’angolo , infatti è congruente a .

Possiamo quindi calcolare:

,

d’altra parte

,

quindi è verificata per ogni possibile scelta di .

Ipotesi:

Tesi

Il triangolo ABC è equilatero.

Dimostrazione:

Siano , e gli angoli del triangolo , sia un punto dell’arco e sia x l’angolo .

Per il teorema della corda posso scrivere che:

,

Risulta quindi che:

, semplificando:

Devo quindi verificare che l’equazione sopra riportata sia verificata per ogni scelta di .
Eseguendo due calcoli con le formule trigonometriche:

,

raccogliendo:

.

Dovendo essere verificata per ogni , deve accadere che:

cioè:

elevando al quadrato la seconda equazione, ottengo il sistema:

Il sistema, se ha soluzioni, contiene anche le soluzioni del sistema precedente.

Risolvendo si ottiene che

che ha come unica soluzione ammissibile (),

Quindi il triangolo è equilatero.

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