ProbleMATEMATICAmente - Febbraio 2001

Soluzione proposta da: Alberto Cornia - Classe 5B, L.S. "Fanti", Carpi (MO)

PRIMA PARTE

Elevo al quadrato i termini della disequazione di partenza:

Quindi la disuguaglianza si riduce ad un'uguaglianza per x = y, e vale in senso stretto in tutti gli altri casi.

Nel primo caso è possibile elevare al quadrato senza porre limitazioni o condizioni particolari, perché sia i radicandi (e quindi anche la loro somma) che, ovviamente, i radicali sono certamente positivi. Nel secondo elevamento al quadrato il secondo membro può essere minore di 0 o no: nel primo caso la disequazione è subito verificata (essendo il primo membro sicuramente maggiore di 0), altrimenti si procede elevando al quadrato come è stato fatto.

TERZA PARTE

Passiamo all'ultima disequazione proposta. Applichiamo i risultati già verificati nella prima parte: otteniamo in questo modo delle maggiorazioni successive dell'espressione proposta.

Anche in questo caso le uguaglianze valgono per x = y, per z = w e per x + y = z + w, e quindi, complessivamente, per x = y = z = w. In tutti gli altri casi vale la disuguaglianza in senso stretto.

 SECONDA PARTE

Per analogia con le due disuguaglianze dimostrate, possiamo ipotizzare che valga la seguente:

Le disuguaglianze possono essere facilmente generalizzate al caso di più variabili secondo la formula:

Il segno di uguaglianza vale per

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