ProbleMATEMATICAmente - Gennaio 2000
Soluzione proposta da:
Umberto Perinetti
5° C del Liceo Scientifico "Bafile"
F(x)F(y) – F(xy) = x + y
Per y = 0 si ha F(x)F(0) – F(0) = x
e quindi F(0)[F(x) –1] = x (1)Per x = y = 0 si ha F(0)F(0) – F(0) = 0
dunque F(0)[F(0) – 1] = 0 pertanto F(0) = 0 or F(0) = 1Se fosse F(0) = 0 , sostituendo nella (1) avremmo 0[F(x) – 1] = x, cioè 0 = x
In tal caso la (1) , che dovrebbe essere soddisfatta per ogni x in
R , sarebbe soddisfatta solo per x = 0.Dovrà quindi essere F(0) =1
Sostituendo nella (1) otteniamo
1 [F(x) – 1] = x
F(x) – 1 = x
F(x) = x +1
La funzione che soddisfa la condizione F(x)F(x) – F(x) = x + y per ogni x, y reali è quindi quella di equazione F(x)= x +1