FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Novembre 2006

IL TESTO DEL PROBLEMA

Costruire un quadrilatero in cui le bisettrici di due angoli opposti (di vertici A e C) siano parallele.

1) Quali caratteristiche presenta il quadrilatero così ottenuto?
2) Potrebbe essere un trapezio o un parallelogrammo?

Descrivere la costruzione e giustificare le risposte.

Costruzione eseguita da: Alfredo Rivero, Francesca Giacovelli, Gaia Pallestrini, Michel Usai, Classe 3S, SM di San Genesio ed Uniti (PV)

rette parallele “m” ed “n”; A punto su “m”, C su “n”; retta per A, retta per C, punto di intersezione B; circonferenza con centro A e raggio AB; circonferenza con centro C e raggio CB; retta per B perpendicolare alle rette “m” ed “n”; E e L intersezione con le due circonferenze; retta CL, retta AE, punto di intersezione D. ABCD è un quadrilatero generico che ha le bisettrici di due angoli opposti parallele.

 

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Commento

Abbiamo ricevuto sette risposte provenienti da cinque scuole, alcune nuove. Una delle risposte è stata inviata dagli studenti di una prima classe di scuola media inferiore, che invitiamo a seguirci ancora. Uno studente non dichiarato la scuola di provenienza.

• LS “G.B. Scorza”, Brindisi (BR)
• SM “C.A. Dalla Chiesa”, San Genesio ed Uniti (PV) – tre risposte
• LS “T. Gullace”, Roma (RM)
• SM “Giusti-Gramsci”, Monsummano Terme (PT).

Dopo aver costruito un quadrilatero con le bisettrici di due angoli opposti parallele, si doveva individuare una ulteriore caratteristica della figura ottenuta, ad esempio di avere gli altri due angoli fra loro congruenti.
Tale proprietà avrebbe consentito di rispondere in modo immediato alle successive domande, ma non è stata rilevata o evidenziata in modo esplicito nelle risposte pervenute ad eccezione di quella del LS “T. Gullace”, in cui si imposta la costruzione proprio sulla congruenza dei due angoli.
E’ possibile infatti dimostrare anche il teorema inverso: se un quadrilatero ha due angoli opposti congruenti, allora le bisettrici degli atri due sono fra loro parallele.
Dalla SM “C.A. Dalla Chiesa” sono giunte due costruzioni simili fra loro, basate sulla proprietà del triangolo isoscele di avere l’altezza relativa alla base anche bisettrice dell’angolo al vertice. Una di queste verrà proposta per illustrare il testo del problema (una terza costruzione tratta solo un caso particolare).

Abbiamo convenuto di presentare tre risposte

• SM “C:A: Dalla Chiesa”; in essa Chiara Veronesi giustifica in modo esauriente la sua costruzione, ma non tutti i casi particolari. Considera anche il caso in cui le bisettrici siano coincidenti.
• LS “G.B. Scorza”; Alfonso Scarpino propone una costruzione molto semplice ricorrendo alla simmetria rispetto a una retta. Non avendo constatato la congruenza degli angoli D e B, fornisce una giustificazione un po’ complessa nella seconda parte.
• LS “T. Gullace”; nella costruzione proposta dalla classe 2F, come già detto, si utilizza la congruenza degli angoli B e D facendo ricorso agli angoli alla circonferenza. Semplice e corretta la conclusione nella seconda parte.

Si allega QUI il documento PDF con le risposte corredate dalle nostre osservazioni in parentesi quadra. Con la doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse perché superflue o inopportune.

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