Richiami teorici
relativi ad argomenti di Geometria piana

Se in un triangolo l'incentro (punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni) e il baricentro (punto di incontro delle mediane) coincidono, allora ogni mediana è anche bisettrice. Ogni bisettrice divide il triangolo in due triangoli che sono tra loro congruenti (due lati e l'angolo opposto a uno di essi). Ne segue che il triangolo è equilatero.

Quindi la risposta corretta è la [2].

Nella seguente figura trascina il vertice C in modo che il baricentro G e l'incentro I coincidano.

Proprietà del baricentro di un triangolo:

-Il baricentro divide ogni mediana in due segmenti, di cui quella che ha un estremo nel vertice è doppia dell'altra.

-Il baricentro di un triangolo è il centro di gravità di tre masse uguali poste ai vertici del triangolo ed anche il centro di gravità dell'intero triangolo pensato come una lamina omogenea di spessore costante.

-Il baricentro è il punto del piano per il quale la somma dei quadrati delle distanze dai vertici è minima.

Gli altri punti notevoli del triangolo che è bene conoscere sono l'ortocentro e il circocentro.

L'ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle altezze oppure dei loro prolungamenti.

Proprietà dell'ortocentro:
- i tre vertici di un triangolo e l'ortocentro formano un sistema ortocentrico, nel senso che ciascuno di questi quattro punti è l'ortocentro del triangolo formato dagli altri tre.
- il punto simmetrico dell'ortocentro di un triangolo rispetto a un lato giace sulla circonferenza circoscritta al triangolo.

Il circocentro di un triangolo è il centro della circonferenza circoscritta ed è il punto di incontro degli assi dei lati del triangolo. Se S è l'area del triangolo e a, b e c sono le misure dei lati, si ha

Il baricentro, il circocentro e l'ortocentro di un triangolo sono allineati e la retta a cui appartengono si chiama retta di Eulero. Si ha inoltre che 2 OG=GH. Inoltre, la somma dei vettori OA, OB e OC è uguale al vettore OH.