
Per risolvere questo quesito, chiamiamo x e y
le lunghezze dei cateti. Occorre risolvere il sistema (simmetrico) di secondo
grado, ottenuto scrivendo la lunghezza del perimetro e applicando il teorema di
Pitagora. Si ottiene il seguente sistema:

che si trasforma in

Da quest’ultimo sistema si ricava:
.
La risposta esatta è quindi la [2].
Osservazione. Poiché in ogni triangolo si ha anche A= pr, dove
p è il semiperimetro ed r il raggio della circonferenza inscritta
nel triangolo, ne segue che in un triangolo rettangolo sia ha r=p-a.
Ciò è evidente dalla seguente figura se si considera che
p=r+s+t.
Si osservi ancora che la formula A = pr per
determinare l'area di un triangolo vale anche più in generale per tutti i
poligoni che sono circoscrittibili ad una circonferenza. Si ha infatti la
seguente proposizione:
Se un poligono è circoscrittibile ad una
circonferenza, la sua superficie è equivalente a quella di un triangolo che ha
per base il perimetro del poligono e per altezza il raggio r della
circonferenza inscritta (tale raggio r si chiama l'apotema del
poligono).
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