Richiami teorici
relativi ad argomenti di Geometria dello Spazio

Figura 1 - I cinque poliedri regolari: tetraedro, cubo (esaedro), ottaedro, dodecaedro, icosaedro (figura eseguita con il software Cabri 3D)

La risposta esatta al quesito è la n. 2. Il numero delle facce dà il nome ai poliedri regolari, detti anche solidi platonici.

Per dimostrare che esistono solo cinque tipi di poliedri regolari occorre osservare che in ogni vertice convergono degli angoli che formano un angoloide. Ad esempio in ogni vertice del cubo, convergono tre angoli retti, che formano le facce di un angoloide (un triedro in questo caso).

Si può dimostrare il seguente teorema:

la somma degli angoli che formano le facce di un angoloide è minore di un angolo giro.

Osserviamo innanzitutto che ad ogni vertice concorrono almeno 3 facce, inoltre che la somma delle ampiezze degli angoli che concorrono in quel vertice deve essere <360°. Dimostriamo il teorema per parti, aumentando via via il numero dei lati delle facce. Indichiamo con la coppia ordinata (p,q) un poliedro avente p = numero lati di ogni faccia e q = numero lati per vertice.

a) Vi sono solo tre tipi di poliedri regolari aventi come facce triangoli equilateri.

Infatti: Quanti poliedri esistono aventi come facce dei triangoli equilateri?

             à  tetraedro regolare  (3,3)

             à ottaedro regolare  (3,4)

             à  icosaedro regolare (3,5)

             à  impossibile perché angolo giro

 b) Vi è un solo tipo di poliedro regolare avente come facce poligoni regolari con quattro lati, cioè quadrati.

Infatti: Quanti poliedri esistono aventi come facce dei quadrati?

             à cubo, detto anche esaedro regolare (4,3)

             à  impossibile perché angolo giro. 

c) Vi è un solo tipo di poliedro regolare avente come facce poligoni regolari con cinque lati (pentagoni regolari).

Infatti: Quanti poliedri esistono aventi come facce dei pentagoni?

           à dodecaedro regolare (5,3)

           à  impossibile perché maggiore dell’angolo giro

 d) Non esistono poliedri regolari aventi come facce poligoni regolari con 6 lati, cioè esagoni.

Infatti:            à  impossibile perché angolo giro.