Un po' di geometria sferica
La geometria sferica è quella che si realizza in un mondo a due dimensioni costituito dalla superficie S di una sfera: i punti sono i punti della superficie, le rette i cerchi massimi della sfera. In questo mondo per due punti diametralmente opposti sulla superficie (es. i poli sulla Terra) passano infinite rette (es. i meridiani); due rette sono sempre incidenti; le rette sono curve limitate e chiuse. Gli archi di cerchi massimi conservano la proprietà che è anche delle rette nel piano euclideo, ossia di essere le curve di minima lunghezza tra due punti (geodetiche).
La geometria sferica descrive il mondo di un viaggiatore sulla Terra. Tra le più notevoli proprietà della geometria sferica vi è quella che riguarda gli angoli di un triangolo sferico. I lati del triangolo sono archi di cerchio massimo, gli angoli sono quelli individuati dalle semirette tangenti ai lati.
Importante e caratteristica di questa geometria è la seguente proprietà:
La somma degli angoli interni di un triangolo sferico è sempre maggiore di due angoli retti.
Poiché in geometria euclidea la somma degli angoli interni ad un triangolo è uguale a due angoli retti, si usa chiamare eccesso di un triangolo sferico la quantità che supera la misura di due angoli retti (π in radianti) ossia, detti α, β e γ gli angoli sferici,
eccesso = α + β + γ - π .
L'eccesso dunque è sempre positivo, tuttavia non ha lo stesso valore per tutti i triangoli come ci si può convincere prendendo un triangolo con un vertice, ad esempio, nel polo Nord e due vertici sull'Equatore, e facendo variare la lunghezza del lato equatoriale (vedi Fig.2). Come suggerisce la stessa figura, l'eccesso del triangolo è strettamente legato alla sua area, anzi è proporzionale ad essa:
A = r² ( α + β + γ - π )
dove r è il raggio della sfera.
Non è possibile costruire triangoli simili sulla superficie sferica, ossia triangoli con gli angoli ordinatamente uguali e i lati in proporzione di lunghezze differenti, poiché variando la lunghezza dei lati varia anche l'ampiezza degli angoli. La dipendenza tra angoli e lati di un triangolo sferico è espressa dalla formula fondamentale:
dove a, b e c sono i lati del triangolo e α è l'angolo opposto ad a.
Per altre illustrazioni delle proprietà della geometria sferica rimandiamo al sito [15].
