Tutte le matrici magiche.

Scopo  di quanto segue di dimostrare che ogni matrice magica, M, della forma:

M = magmat_gen.jpg (2636 bytes)dove x,y,z sono numeri reali.

La dimostrazione qui proposta usa il seguente fatto: ogni matrice si scrive, in modo unico, come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.

Una matrice, S, simmetrica se i suoi elementi simmetrici rispetto alla diagonale principale sono uguali. La generica matrice simmetrica della forma S = simm.jpg (1336 bytes)(Vediamo cos che le matrici simmetriche dipendono da 6 parametri: a,b,c,d,e,f).

Una matrice A antisimmetrica se gli elementi sulla diagonale principale sono nulli e se quelli simmetrici rispetto alla diagonale sono opposti. La generica matrice antisimmetrica della forma A =asimm.jpg (1371 bytes).(Le matrici antisimmetriche dipendono da 3 parametri: u,v,w).

Sia M = mat_gen.jpg (1309 bytes)una matrice qualsiasi, se vogliamo scrivere M = S + A con S simmetrica, A antisimmetrica, allora chiaramente a = x, b = n, c = t. Per gli altri elementi dobbiamo avere, per esempio: d+u = y e d-u = m. Sommando le due equazioni: d = (m+y)/2; invece sotraendo la seconda dalla prima u = (y-m)/2. Nello stesso modo e = (z+r)/2, v=(z-r)/2 e finalmente f = (p+s)/2, w = (p-s)/2. Viceversa se M somma di una matrice simmetrica S' e di una matrice antisimmetrica A', chiaro che deve essere S = S' e A = A'. Questo dimostra che ogni matrice si scrive in modo unico come somma di una matrice simmetrica e di una matrice antisimmetrica.


Sia M una matrice magica, di somma s, allora M, come ogni matrice, si scrive M = S + A dove S simmetrica e dove A antisimmetrica. Il fatto notevole che anche S e A sono magiche.

Infatti, con le notazioni precedenti,verifichiamo che S magica. Somma della prima riga: a+d+e = x + (m+y)/2 + (z+r)/2. Siccome M magica: x+m+r = s, cio (m+r)/2 = (s-x)/2 e x+y+z = s. Quindi a+d+e = (x+y+z)/2+(x+m+r)/2= s. Le altre verifiche si fanno nello stesso modo.

Per quanto riguarda A (se magica la sua somma 0:guardare la diagonale); somma della prima riga: u+v = (y-m)/2 + (z-r)/2. Ma, siccome M magica: (y+z)/2 = (s-x)/2 = (m+r)/2. Quindi u+v=0. Le altre verifiche sono similari.

In conclusione: per determinare tutte le matrici magiche, basta determinare tutte le matrici magiche simmetriche e tutte le matrici magiche antisimmetriche. (Abbiamo spezzato il nostro problema in due problemi pi semplici.)


Matrici magiche antisimmetriche.

E' il caso pi facile. Con le notazioni precedenti se A antisimmetrica magica, allora magica di somma 0 e dobbiamo avere:

u+v = 0
-u+w = 0
v+w = 0

Si ricava facilmente: v = -u, w = u. Quindi A = asim_mag.jpg (1353 bytes)= uBasim_mag.jpg (1318 bytes)= u.A (dove abbiamo posto A = Basim_mag.jpg (1318 bytes)). In particolare le matrici magiche antisimmetriche dipendono da 1 parametro.


Matrici magiche simmetriche di somma zero.

Per quanto riguarda le matrici magiche simmetriche inizieremo con un caso semplice: quello in cui la somma zero. Con le notazioni precedenti dobbiamo avere:

(1) a+d+e=0
(2) d+b+f=0
(3) e+f+c=0
(4) a+b+c=0
(5) 2e+b=0

Da (5): e = -b/2 (*). Da (4): a = -b-c, inserendo in (1): -c+d = -e+b = 3b/2 (**). Da (3): f = -e-c, inserendo in (2): d-c = e-b = -3b/2; confrontando con (**), viene b = 0, e poi e=0, d=c=-a=-f. In conclusione S = aBsim_mag.jpg (1335 bytes)= a.S (dove abbiamo posto S = Bsim_mag.jpg (1335 bytes)). Quindi anche le matrici magiche simmetriche di somma zero dipendono da un parametro.


Matrici magiche simmetriche.

Sia M una matrice magica simmetrica di somma s. La matrice N =(s/3)U (tutti i coefficienti uguali a s/3) magica di somma s e simmetrica. Sia M' = M - N, si verifica facilmente che M' magica, simmetrica e di somma 0. Per il punto precedente, M' della forma a.S. Pertanto M = N + aS = (s/3)U + aS. In conclusione: ogni matrice magica simmetrica della forma aS + bU (le matrici magiche simmetriche dipendono da due parametri).


Tutte le matrici magiche.

Mettendo tutto insieme, abbiamo: se M magica, M si scrive (in modo unico) nella forma: M = xU + yS + zA; in altri termini, la generica matrice magica della forma:

magmat_gen.jpg (2636 bytes)

In particolare le matrici magiche dipendono da 3 parametri.

Osservazioni:

  1. Per darsi una matrice magica casuale basta prendere x,y,z casuali e combinarli come sopra.

  2. La somma 3x, quindi il termine centrale sempre (s/3).

  3. Il termine centrale la somma, divisa due, degli altri due termini sulla seconda diagonale (x = [(x+z)+(x-z)]/2); con questo accorgimento, il primo gioco diventa banale.

  4. L'idea di questa dimostrazione viene dalla pratica dell'algebra lineare (l'insieme, M, delle matrici magiche un sottospazio vettoriale di dimensione 3 dello spazio vettoriale, di dimensione 9, di tutte le matrici. C' un piccolo miracolo: M la somma diretta di Ma e Ms dove Ma (risp. Ms) l'intersezione di M con il sottospazio delle matrici antisimmetriche (risp. simmetriche)). Una dimostrazione alternativa (meno elegante) si pu fare con la teoria dei sistemi lineari.

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