Orologio con due ore.
Prendiamo un orologio con due ore: 0 e 1. (Abbiamo scritto 0 e 1 invece di 1 e 2 perchè i possibili resti nella divisione per 2 sono 0 e 1; se preferite 1 e 2 è lo stesso purchè 1 = 1 e 2 = 0). Se facciamo la somma delle ore con questo orologio viene:
0 + 0 = 0 (mod 2)
1 + 0 = 0 + 1 = 1 (mod 2)
1 + 1 = 0 (mod 2)
Tutto regolare tranne l'ultima uguaglianza, ma se guardiamo all'orologio, anche questa torna.
Un altro modo di vedere le cose è il seguente: n = 0 (mod 2) se e solo se n è pari; invece n = 1 (mod 2) se e solo se n è dispari.
-la somma di due numeri pari è un numero pari (cioè 0+0=0 (mod 2))
-la somma di un numero pari e di un numero dispari è un numero dispari (cioè 1+0=1 (mod 2))
-la somma di due numeri dispari è un numero pari (cioè 1+1=0 (mod 2)).
Possiamo riassumere la legge dell'addizione dei numeri dell'orologio con due ore (in matematichese: "dei numeri modulo 2") con la seguente tabella:
Passiamo ora alla moltiplicazione. Abbiamo:
0x0 = 0 (mod 2), 1x0 = 0x1 = 0 (mod 2) e 1x1 = 1 (mod 2)
Infatti il prodotto di due numeri pari è un numero pari; il prodotto di un numero pari con un numero dispari è un numero pari; il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.
Abbiamo quindi la seguente tabella per la moltiplicazione:
Orologio con quattro ore.
Questa volta il nostro orologio ha quattro ore: 0, 1, 2, 3 (che sono i possibili resti nella divisione per 4).
Abbiamo: 0+0 = 0 (mod 4); 0+1 = 1 (mod 4); 0+2 = 2 (mod 4); 0+3 = 3 (mod 4); e poi:
1+1 = 2 (mod 4); 1+2 = 3 (mod 4); 1+3 = 0 (mod 4), 2+2 = 0 (mod 4).
Le cose notevoli sono: 1+3 = 0 (mod 4) e 2+2 = 0 (mod 4). Infatti 1+3 = 4 e il resto nella divisione di 4 per 4 è 0. Stessa cosa per 2+2.
Aggiungerei: per fortuna che è così!!
Infatti guardiamo alla tabella dell'addizione "modulo 4": 
Vediamo che grazie proprio a queste stranezze, l'addizione verifica due proprietà che la solita addizione (con numeri interi positivi e negativi) verifica, cioè:
- esiste lo zero 0 che verifica: n+0 = 0+n = n per ogni numero n (aggiungere 0 non cambia nulla, si dice che 0 è "elemento neutro" per l'addizione)
- per ogni numero n esiste un numero -n tale che: n + (-n) = (-n) + n = 0 (si dice che -n è il "simmetrico" di n per l'addizione. Per esempio -2 è il simmetrico di 2 (e 2 è il simmetrico di -2).
Anche i nostri numeri dell'orologio con 4 ore godono di queste proprietà:
- l'elemento neutro è sempre lo zero.
- ogni elemento ha un simmetrico: il simmetrico di 1 è 3 (e viceversa); il simmetrico di 2 è 2.
Siccome i nostri numeri, come quelli "normali", verificano le proprietà:
- per ogni n e per ogni m: n + m = m + n ("commutatività")
- per ogni n, per ogni m e per ogni t: t + (n +m) = (t + n) + m ("associatività")
vediamo che malgrado (o grazie) alle sue stranezze, l'addizione dei numeri modulo 4 è strutturalmente uguale a quella dei numeri normali (i matematici dicono l'addizione conferisce a questi numeri una struttura di "gruppo"; la nozione di "gruppo" è fondamentale oggigiorno in matematica, ma qui siamo già molto avanti ...)
Attenzione!!!
Le cose non vanno così bene con la moltiplicazione
Infatti abbiamo: 2x2 = 0 (mod 4), perchè 2x2 = 4 è il resto nella divisione di 4 per 4 è 0.
Questo non succedde con i numeri normali: se axb = 0, allora a = 0 o b = 0.
La tabella della moltiplicazione dei numeri modulo 4 è:
Vediamo che non esiste nessun numero n tale che: 2xn = 1 (mod 4).
Osserviamo però che: 3x3 = 1 (mod 4)
Invece con i numeri normali (ma considerando anche le frazioni) abbiamo che: per ogni n diverso da 0, esiste 1/n tale che: nx(1/n) = 1 (questo è vero anche se n = a/b è una frazione, in questo caso 1/n = b/a). Come per la somma dei numeri interi positivi e negativi, la moltiplicazione conferisce alle frazioni (escluso 0) una struttura di "gruppo" (l'elemento neutro è 1 = 1/1; il simmetrico di n è 1/n).
La moltiplicazione NON conferisce una struttura di "gruppo" ai numeri modulo 4 (escluso lo 0), perchè 3 ha un simmetrico (3x3 = 1 (mod 4)) ma 2 no. Questa volta c'è una differenza strutturale, ben illustrata dal fatto che 2x2 = 0 (mod 4) (se 2 avesse un simmetrico, 2*, questo non sarebbe possibile: 2*x(2x2) = 2*x0, ma 2*x(2x2) = (2*x2)x2 = 1x2 = 2 e si avrebbe 2 = 0, assurdo).
Orologi con n ore.
Come già detto possiamo considerare orologi con un numero (intero) n, qualsiasi di ore. Il nostro orologio avrà n ore: 0, 1, 2, ...., (n-1) (sono i resti possibili nella divisione per n). Non è troppo difficile convincersi che per l'addizione le cose vanno sempre bene (il simmetrico di 1 è n-1; quello di 2, n-2; quello di 3, n-3; ecc...).
Per la moltiplicazione possono esserci dei problemi. Si dimostra (al primo anno di università) che la moltiplicazione si comporta "bene" se, e solo se, n è un numero primo.
A titolo d'esempio la tabella della moltiplicazione per i numeri modulo 5 è:
e potete verificare che se t è diverso da zero, esiste sempre t* tale che: txt* = 1 (mod 5) (cioè in ogni riga corrispondente a t diverso da 0, compare 1). Quindi, in particolare, se axb = 0 (mod 5), allora a = 0 o b = 0.
Da cui, ancora una volta, l'importanza di essere primo!
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