Siano X e Y due insiemi e sia f un'applicazione da X in Y, supponiamo di avere su Y una topologia tY. Tramite questa topologia e tramite l'applicazione f costruisco una topologia tX su X in modo tale da rendere l'applicazione f continua. Gli aperti della topologia tX su X saranno le controimmagini tramite f degli aperti di tY. Questo tipo di topologia indotta è detta topologia dell'immagine inversa ed è la meno fine delle topologie che rendono l'applicazione f continua. Diamo quindi la seguente definizione:

Definizione:

Siano X e Y insiemi e sia f una applicazione tra X e Y. Data una topologia tY in Y, chiamiamo f*tY l'insieme { f -1(V) | V appartiene a tY }, esso è la famiglia delle controimmagini degli aperti di Y. Questa topologia è detta Topologia dell'immagine inversa.

Osservazione:

Nelle notazioni precedenti sia X un sottoinsieme di Y e f sia l'applicazione di inclusione, i, allora U è aperto in X se esiste V aperto in Y tale che

U = i -1 (V) = V intersecato X.
Questo tipo di topologia, cioè quella indotta da Y su X, rende X un sottospazio di Y.

Definizione:

Siano X e Y insiemi e sia f una applicazione da X in Y. Sia tX una topologia su X, f*tX è una topologia su Y così definita: f*tX = { V inclusi in Y | f -1(V) appartiene a tX }. Questa topologia è detta Topologia dell'immagine diretta.