Il problema numero UNO (Ottobre 2004)

"La pizza democratica"

Una sera i signori Bianchi decisero di andare a mangiare una pizza con i loro quattro figli. Al momento delle ordinazioni emersero opinioni diverse circa la scelta delle dimensioni della pizza.
Il figlio maggiore disse: ”Sto morendo di fame, io ordinerei le pizze più grandi per tutti”. La signora Bianchi, attenta al bilancio familiare, si dimostrò piuttosto perplessa nel timore che non tutti sarebbero stati così affamati.
Per aiutare la famiglia Bianchi nella scelta della dimensione delle pizze la cameriera indicò le foto delle pizze appese alla parete del locale. Sotto ogni immagine era indicata la lunghezza del diametro di ciascuna tipologia di pizza, precisamente: 24 cm, 21 cm, 19 cm, 12 cm, 9 cm e 5 cm.
Il signor Bianchi pensò di risolvere la questione in modo democratico: sarebbe stata scelta per tutti la tipologia di pizza più votata dai componenti della famiglia. Questa idea non portò tuttavia ad alcuna soluzione perché ognuno votò per una dimensione diversa e quindi nessuna tipologia risultò la più scelta.
Il signor Bianchi non si scoraggiò e disse: “Poiché ogni tipo di pizza ha ottenuto un voto, allora sceglieremo quella che si avvicina maggiormente alla dimensione media delle sei pizze”.
Se tu fossi stato nei panni della cameriera quale tipologia pizza avresti portato ai componenti della famiglia Bianchi?

Abbiamo ricevuto 8 soluzioni, alcune proposte individualmente dagli studenti, altre da intere classi o gruppi di studenti. Nel dettaglio ci hanno inviato le loro risposte:

• Silvia Bandiera del Liceo Scientifico “Primo Levi” – Montebelluna (TV);
• Enrica Denti;
• Giulia Papagni della 2B del Liceo Scientifico “Leonardo da Vinci” – Bisceglie (BA);
• Fabrizio Signoretti del Liceo Tecnologico “Cesaris” – Casalpusterlengo (LO);
• 3 A della Scuola Media “Zanella” – Roveredo in Piano (PN);
• 4 D e 4 A indirizzo P.N.I. del Liceo Scientifico “Tassoni” – Modena;
• Prof. Luigi Petralia del Liceo Scientifico “P. Farinato” – Enna;
• I.T.C.G. “Ruffini” – Imperia:
  Amoretti Federica classe III A Ragionieri Programmatori
  Barutto Serena classe V A Ragionieri Programmatori
  Cardi Maria Elena classe III A Ragionieri Programmatori
  Di Romualdo Valentina classe III A Ragionieri Programmatori
  Lanteri Cristina classe III A Ragionieri Programmatori
  Paese Silvia classe V A Ragionieri Programmatori
  Pesce Silvia classe V A Ragionieri Programmatori
  Pressamariti Sonia classe III A Ragionieri Programmatori
  Spinelli Valentina classe III A Ragionieri Programmatori
  Tumminello Mattia classe V A Ragionieri Programmatori
  

Grazie per aver aderito a questa iniziativa,
che speriamo sia stata l’occasione per una riflessione stimolante sui metodi statistici.
Ci auguriamo che ciò si riproponga
anche per i nuovi problemi che verranno presentati.

Tutte le soluzioni pervenute sono corrette, anche se presentano un livello di approfondimento diverso. Molte risposte propongono interessanti confronti tra il significato interpretativo della media aritmetica e della media quadratica.

Proponiamo una soluzione completa del problema (pdf) con alcuni spunti di riflessione sull’uso delle medie. Il gruppo di STATISTICAmente è a disposizione per qualsiasi domanda e chiarimento.

Di seguito riportiamo alcune delle soluzioni pervenute.

La risposta di Fabrizio Signorotti [Liceo Tecnologico “Cesaris” – Casalpusterlengo (LO)], così come le altre soluzioni proposte individualmente, è completa e precisa ed utilizza, anche senza menzionarla esplicitamente, il concetto di media quadratica.

Per scaricare o visualizzare il file selezionare QUI (pdf)

Molto interessante ed articolata è la soluzione proposta dalla 3 A della Scuola Media “Zanella” di Roveredo in Piano (PN). Il ragionamento proposto è il seguente:

Colonna 1.

La Media Aritmetica dei Diametri è 15 cm (90 / 6 ) e la pizza che si avvicina di più è quella di diametro 12;  ma …. il diametro non si mangia; ragioniamo sulle aree, dando per scontato che tutte le pizze abbiano lo stesso spessore.

Colonna 2.

La Media delle Aree   è  67,83 л cm² (407 л / 6 ), pizza ipotetica compresa tra le due di diametro 19 e 12 cm; i calcoli sulle aree consigliano la pizza di diametro 19 cm  la cui differenza dalla Media è minore rispetto alla pizza di diametro 12 cm (90,25л – 67,83л = 22,17л ;  67,83л - 36,00 л = 31,83 л). La conclusione è diversa rispetto alla scelta determinata dai calcoli della colonna 1.

Colonna 3.

E se volessimo conoscere quanto complessivamente la famiglia mangia in più o in meno rispetto a quanto i singoli componenti avrebbero desiderato?

Se fosse possibile fare una pizza di superficie pari alla Media la somma degli scarti delle singole pizze desiderate dalla Media sarebbe zero; immaginiamo però di ordinare la pizza di diametro 19 cm (area = 90,25л) e calcoliamo quanto ogni componente mangia in più o in meno di quanto avrebbe desiderato: complessivamente la famiglia mangia in più 134,50л  cm².

Colonna 4.

Qualora si ordinasse la pizza di diametro 12 cm (Area=36,00 л), complessivamente la famiglia mangerebbe di meno 82,50 л cm².

La mamma, per spendere meno e scostarsi complessivamente meno dalle quantità desiderate, probabilmente ordinerebbe questa pizza, mentre la cameriera, per incassare di più consiglierebbe quella di diametro 19 cm che si avvicina maggiormente alla Media.

Colonna 3bis. Colonna 4bis.

Cinque componenti su sei hanno un “disagio” (mangiano di più o di meno); se consideriamo i disagi singoli (valore assoluto degli scarti) e li sommiamo scopriamo che le due scelte considerate portano alla stessa somma di 282,00 л (disagio complessivo).

Ci sembra troppo sbrigativo considerare solo la Media delle Aree delle pizze per poter scegliere. Analizzando i dati riportati in tabella  la scelta migliore sembrerebbe la pizza di diametro 12 cm che procura minor scompenso con la quantità complessivamente desiderata  (- 82,50 л), ma forse è meglio che avanzi del cibo (+ 134,50 л) piuttosto che manchi, e allora scegliamo quella di diametro 19 cm che si avvicina di più alla Media.

 ….  ogni scelta ha dei numeri che la giustificano!

Ci sembra molto suggestivo e profondo il modo di ragionare e, soprattutto, la conclusione. Tutti i nostri complimenti al docente e ai ragazzi della 3 A.

Sintetica, articolata ed efficace è anche la soluzione proposta dalla 4°D e 4°A con indirizzo P.N.I. del Liceo Scientifico Statale “A. Tassoni” di Modena.

Per scaricare o visualizzare il file selezionare QUI (pdf)

I nostri più vivi complimenti vanno alla soluzione proposta dall’ I.T.C.G. “Ruffini” di Imperia. Essa è completa, dettagliata e molto interessante anche per l’uso appropriato del foglio elettronico.

Anche in questo caso abbiamo scelto di pubblicare questa soluzione in formato PDF e di allegare inoltre il file di Excel utilizzato per sviluppare la soluzione.

Per scaricare o visualizzare i file selezionare QUI (pdf) e QUI (Excel).

Nell’ultima parte della soluzione gli studenti di quinta propongono alcune riflessioni di carattere inferenziale. Ci preme sottolineare che l’utilizzo degli strumenti prescelti richiederebbe ulteriori riflessioni circa la presenza o meno dei presupposti teorici sottostanti alle metodologie richiamate.

Saremmo lieti di riprendere il discorso nella imminente Edizione Straordinaria STATISTICAmente per l’esame di Stato.