ProbleMATEMATICAmente - Dicembre 2001
Enrico Tombetti - Classe 4a C
Possiamo notare che esistono diversi insiemi di 50 numeri
che non si dividono tra loro [correzione di un termine errato]: ad esempio l’insieme A dei numeri tra 51 e 100 inclusi, oppure gli insiemi ottenuti dal precedente sostituendo ad alcuni numeri pari le corrispondenti metà.Osserviamo poi che ogni numero tra 1 e 50 inclusi, divide almeno un numero tra 51 e 100 inclusi. Infatti:
Non è quindi possibile aggiungere alcun numero inferiore a 51 all’insieme A che non divida uno dei suoi numeri.
Non è neppure possibile sostituire k numeri di A con almeno k + 1 numeri tra 1 e 50 inclusi in modo da ottenere un insieme di 51 numeri
che non si dividono tra loro. Dovremmo poter prendere almeno una volta i due fattori il cui prodotto era un numero dell’insieme dei 50 che non si dividono tra loro. Il fatto è che i 40 numeri non primi di A (50, 51, 52, 54..., 100) sono ottenibili da soli 14 fattori primi (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ,23, 29, 31, 37, 41, 47): 91 può essere sostituito dai fattori 13 e 7, ma poi 7 divide 56, 63, 70.. 98; e 13 divide 52, 69...Possiamo ulteriormente notare che il problema poteva essere generalizzato dicendo che presi n + 1 numeri distinti tra 1 e 2n inclusi, almeno uno di essi ne divide un altro.