ProbleMATEMATICAmente - Marzo 2001
Enrico Tombetti - 3 C - LS Leonardo da Vinci - Gallarate (VA)
Faccio riferimento alla figura allegata (Fig.1):
Prendiamo, come angolo retto, il primo quadrante di un sistema cartesiano ortogonale Oxy
ed in esso tracciamo i punti P e Q.
Prendiamo poi due punti a caso: A sull'asse y, B sull'asse x. Tracciamo la poligonale
aperta PABQ: essa č un cammino che va da P a Q toccando prima l'uno poi l'altro lato
dell'angolo retto xOy.
Tracciamo ora il segmento AP' simmetrico di AP rispetto all'asse y: ovviamente AP' č
congruente ad AP.Con analogo criterio tracciamo il segmento BQ' simmetrico di BQ rispetto
all'asse x: BQ' č congruente a BQ.Il cammino P'ABQ' risulta congruente al cammino PABQ.
E' ovvio che tra tutti i cammini che vanno da P' a Q' quello pių breve č quello che
giace sulla retta per P'Q'. Tale cammino intercetta i punti C sull'asse y e D sull'asse x.
Se pensiamo di spostare A in C e B in D, per la congruenza sopra dimostrata, il cammino
pių breve che va da P a Q tocca il lato y in C ed il lato x in D.
Se P ha coordinate (Xp, Yp) e Q ha coordinate (Xq, Yq) la lunghezza del cammino pių breve
vale: SQRT((Xp+Xq)^2+(Yp+Yq)^2)
Vale la pena di notare che gli angoli PCy e OCD sono congruenti, cosė come sono tra loro
congruenti ODC e xDQ. Inoltre gli angoli OCD e ODC sono complementari. I segmenti PC e QD
sono paralleli tra loro.
Immaginando gli assi x ed y la rappresentazione di due specchi, il cammino pių breve
corrisponde a quello che seguirebbe un raggio luminoso emesso da P, riflesso in C ,
nuovamente riflesso in D fino a raggiungere Q. La luce segue sempre il cammino pių breve!
Per completezza, va considerato il caso in cui i punti C e D si trovino sui semiassi
negativi x ed y (Fig. 2).
In tal caso si tracciano i punti P" simmetrico di P rispetto all'asse x e Q" simmetrico di Q rispetto all'asse Y. La retta P"Q" intercetta sugli assi i punti D' e C'. Il cammino pių breve č PD'C'Q: partendo da P tocca l'asse x in D' poi l'asse y in C' per arrivare a Q.