FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott)

Il testo del problema

Siano g e g¢ due circonferenze di centri O e O¢ tangenti esternamente nel punto M . Sia r una retta passante per il punto M che interseca le due circonferenze in altri due punti A e A¢ (vedi Figura 1).

Figura 1

a) Dimostrare che i due raggi OA e O¢A¢ sono paralleli.

b) Tale proprietà vale ancora se le circonferenze sono tangenti internamente?

c) Siano ora B e B¢ due punti situati su g e g¢ rispettivamente e tali che OB sia parallelo a OB¢ (vedi Figura 2). Dimostrare che B, M e B¢ sono allineati.

Figura 2

Commento alle soluzioni ricevute

Abbiamo ricevuto due risposte, entrambe da classi seconde di Liceo Scientifico. Il problema poneva tre domande (solo in parte collegate) e riguardava inizialmente una figura geometrica costituita da due circonferenze tangenti esternamente e da una retta secante le due circonferenze e passante per il punto di tangenza. Nel primo quesito si chiedeva di dimostrare il parallelismo dei due raggi ottenuti congiungendo i due centri delle predette circonferenze con i due rispettivi punti di intersezione della retta secante; nel secondo si chiedeva di dimostrare la permanenza o meno della proprietà prevista nel primo quesito nel caso in cui le due circonferenze fossero tangenti internamente e nel terzo quesito, date sempre due circonferenze tangenti esternamente e scelti due punti su di esse in modo che i due raggi aventi tali punti come uno degli estremi fossero paralleli, si chiedeva di dimostrare l’allineamento di tali punti col punto di tangenza.

Tutti rispondono in modo sostanzialmente corretto alle prime due domande (anche se non mancano le imprecisioni), mentre, per quanto riguarda la terza domanda, nessuno si mostra in grado di effettuare correttamente la dimostrazione, probabilmente fuorviato dal fatto che la relazione di allineamento di certi punti che deve essere dimostrata risulta “evidente” a un primo esame della figura (costruita con un software di geometria dinamica) e viene quindi implicitamente utilizzata all’interno della dimostrazione stessa.

È sempre presente l’abitudine a confondere un segmento con la sua lunghezza e un angolo con la sua ampiezza, con la conseguenza di utilizzare la stessa notazione per indicare due concetti diversi.

Sono pervenute risposte dalle seguenti scuole:

LS “Pitagora”, Rende (CS)

LS “Jacopone”, Todi (PG)

Come di consueto presentiamo tutti i commenti riuniti in questo unico file pdf  (richiede Acrobat Reader).
NOTA. Nelle soluzioni riportate, le correzioni, le aggiunte o i commenti sono scritti fra parentesi quadre. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.

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Il gruppo di lavoro che gestisce FLATlandia è composto da:

- Ercole CASTAGNOLA - NRD Università di Napoli “Federico II”

- Giuliano MAZZANTI - Docente di Geometria, Università di Ferrara

- Valter ROSELLI - Ricercatore, Dipartimento di Matematica, Università di Ferrara

- Luigi TOMASI - Insegnante di Matematica, Liceo "Bocchi-Galilei", Adria (RO)

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