Flatlandia - Febbraio 2010

FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo" (Edwin A. Abbott)

FLATlandia - PROBLEMA DI FEBBRAIO 2010

Nel rettangolo SPQR, i lati SP e PQ misurano, rispetto a una stessa unità di misura, 7 e 4. Preso un punto T sul lato QR, distante 2 da R, condurre da T il segmento di perpendicolare TV ad SP. Congiungere R con V e con P e poi T con P e indicare con O il punto comune a PR e TV.

a) Calcolare le aree dei triangoli ROV e TOP.

b) Che cosa si può dedurre da tale risultato?

c) La proprietà osservata vale per qualsiasi posizione del punto T in un generico rettangolo?

NOTA. Della proprietà osservata in c) dare (possibilmente) sia una dimostrazione algebrica che una geometrica.

Abbiamo ricevuto cinque risposte così suddivise: una da una Scuola di Roma di nome Aristofane (senza altra precisazione) inviata da una studentessa che non precisa il suo livello scolare, due dal biennio delle Scuole Superiori (entrambe dallo stesso Liceo), due da classi terze delle Scuole Superiori (anche in questo caso dello stesso Liceo). Il problema poneva tre domande: le prime due tra loro collegate, mentre la terza chiedeva di generalizzare, se possibile, quanto precedentemente dimostrato. Nel primo quesito si chiedeva di calcolare le aree di due triangoli interni a un rettangolo di date dimensioni; nel secondo quesito si chiedeva di dedurre dal precedente risultato una proprietà comune ai due triangoli. Infine, nell’ultimo quesito, si chiedeva di generalizzare, se possibile, quanto stabilito nelle prime due risposte al caso di un rettangolo generico, fornendo (se possibile) sia una dimostrazione algebrica che una geometrica. In quattro delle risposte pervenute vengono risolti in modo sostanzialmente corretto i primi due quesiti (salvo piccole imprecisioni). Per il terzo quesito (quello relativo alla generalizzazione), alcuni mostrano di non aver compreso il significato del testo: c’è chi si perde nei calcoli algebrici, c’è chi confonde una risoluzione numerica (che fa quindi riferimento a un rettangolo di dimensioni fissate) con una algebrica e c’è chi non sembra aver chiaro quale strategia risolutiva adottare.

Un’osservazione che crediamo importante: quando si scrive un’uguaglianza che coinvolge enti geometrici [ma questo non vale solo per la geometria!] bisogna prestare attenzione alla “omogeneità” dei due membri dell’uguaglianza. Ad esempio, se al primo membro compare un segmento, al secondo membro non può comparire un numero reale. Inoltre alcuni utilizzano come altezza del triangolo un segmento che in realtà è solo congruente alla vera altezza.

Infine vogliamo sottolineare ancora una volta la necessità che nei diversi elaborati inviateci siano chiaramente presenti i nomi dei risolutori, la classe e la scuola di appartenenza.

NOTA. Nelle soluzioni riportate, le correzioni o i commenti sono scritti fra parentesi quadre. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.

Come di consueto presentiamo tutti i commenti riuniti in questo unico file pdf (richiede Acrobat Reader).
NOTA. Nelle soluzioni riportate, le correzioni o i commenti sono scritti fra parentesi quadre. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.