FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Novembre 2005

Nel rettangolo ABCD considerare un punto P su un lato (ad esempio AD) e condurre da P le parallele alle due diagonali in modo da incontrarle in Q e R. Osservare, al variare di P sul lato, come si comporta il perimetro del parallelogrammo PQOR (essendo O il punto d'incontro delle diagonali).

1. La proprietà osservata è vera in ogni parallelogrammo?

2. Può sussistere in un altro tipo di quadrilatero?

Motivare le risposte.

Commento

Sono giunte undici risposte dalle seguenti scuole

• LS “Aristosseno”, Taranto (TA)
• LS “Majorana”, Guidonia (RM)
• SM “Brofferio”, Asti (AT)
• LS “G. B. Scorza”, Cosenza (CS)
• ITI, LST “Berenini”, Fidenza (PR) – due risposte
• LS “A. Volta”, Milano (MI)
• LC “Sarpi”, Bergamo (BG)
• ITCG “Ruffini” Imperia (IM)
• LS “P. Farinato”, Enna (EN)
• SM “C. A. Dalla Chiesa” S. Genesio (PV)

Nel problema, proposto volutamente in modo vago, si chiedeva di osservare il comportamento del perimetro di un parallelogrammo, con i lati paralleli alle diagonali di un rettangolo, al variare di un suo vertice (P) posto su un lato del rettangolo stesso. Si chiedeva inoltre di vedere se tale proprietà si poteva estendere ad altri parallelogrammi e ad altri quadrilateri.
In tutte le risposte si è giunti alla conclusione che il perimetro di quel parallelogrammo è costante e congruente a una diagonale del rettangolo e quasi tutti hanno concluso che (eccetto il quadrato) questa proprietà non vale negli altri parallelogrammi.
Non tutti però sono stati esaurienti nelle loro motivazioni.
Qualcuno ha notato che quel perimetro dipende dalla congruenza delle due semidiagonali del rettangolo e quindi rimane costante anche in altri quadrilateri (ma in generale non più congruente ad una diagonale) per una opportuna scelta delle diagonali e del lato su cui porre il vertice P.
Inoltre c’è chi ha rivolto l’ulteriore osservazione, limitatamente ai parallelogrammi, anche a un caso particolare, cioè P punto medio.
Si fa presente però che le dimostrazioni delle proprietà della geometria sintetica debbono avere carattere generale, a meno che non sia altrimenti richiesto.

Proponiamo all’attenzione di tutti le seguenti risposte:

• Giuliano Montelucci, 2G, LS “Majorana”
  Questo studente ha prima dimostrato una proprietà del triangolo isoscele per utilizzarla poi nel problema proposto.
   
• Classe 3F, SM “Angelo Brofferio”
  Questi studenti, dopo aver osservato e giustificato la proprietà del perimetro, hanno risposto alla domanda sul generico quadrilatero per fare poi discendere da questa risposta quella sui parallelogrammi.
   
• Alfonso Scarpino,1G, LS “G. B. Scorza”
  Risposta ben motivata in ogni parte.
   
• Gruppo della classe 5B ginnasiale, LC “Sarpi”
  Presentiamo la prima parte e la risposta al primo quesito.
   
• Classe 3A Programmatori, ITCG “Ruffini”
  Questi studenti hanno considerato anche il caso particolare in cui P è punto medio. Hanno svolto un lavoro di laboratorio informatico ricorrendo a due diversi software. Selezionare QUI per scaricare il loro file Derive.

Selezionare QUI per scaricare il documento pdf con le risposte corredate dalle nostre osservazioni in parentesi quadra. In doppia parentesi quadra sono indicate le parti omesse.

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