FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Marzo 2006

Siano M, N, P, Q i punti medi dei lati AB, BC, CD, DA del parallelogrammo ABCD.
Tracciati i segmenti MC, AP, ND, QB, individuare nella figura ottenuta una scomposizione del parallelogrammo in cinque poligoni equivalenti.

Motivare le risposte.

Figure inviate da Francesco Bonalda, Francesca Giacovelli, Alfredo Rivero, Chiara Veronesi - Classe 2S, SM “C.A.Dalla Chiesa”, San Genesio ed Uniti (PV), che così commentano:
abbiamo costruito il parallelogramma su un foglio e poi abbiamo ritagliato i nove poligoni in cui risulta scomposto e ricomponendoli abbiamo ottenuto 5 poligoni congruenti ed equiestesi assemblando i pezzi in questo modo:
1+2 ≈ 3+4 ≈ 5+6 ≈ 7+8 ≈ 9

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Commento

Abbiamo ricevuto sette risposte, di cui due provenienti da una stessa sezione (classe seconda e terza) di scuola media. Ci complimentiamo con questi ragazzi e con la loro insegnante per il continuo interesse dimostrato per la geometria. Per illustrare il testo del problema abbiamo utilizzato la costruzione della classe seconda.

• LS “Aristosseno”, Taranto (TA)
• ITCG “Ruffini”, Imperia (IM)
• LS “B. Russel”, Roma (RM)
• SM “C.A. Dalla Chiesa”, San Genesio ed Uniti, (PV)
• LS “G.B. Scorza”, Cosenza (CS)
• ITI,LST “Berenini”, Fidenza (PR)

Il problema di questo mese aveva come argomento la equiestensione: si trattava di individuare in un parallelogrammo, opportunamente scomposto, la suddivisione in cinque poligoni equivalenti.
Non era difficile scoprire i cinque poligoni, ma è stato interessante constatare la ingegnosa fantasia degli studenti nell’escogitare percorsi e costruzioni diverse, fra cui il ricorso a “carta e forbici”, per giungere alla tesi richiesta. Ingegnosità non sempre supportata da una corretta esposizione e/o giustificazione per alcuni, oppure che ha portato ad eccessive elaborazioni in altri (come, ad esempio, la ulteriore scomposizione della figura in triangoli, che ha contribuito ad appesantire la dimostrazione).
Riteniamo doveroso fare alcune precisazioni:

• non sempre sono state sfruttate appieno o in modo corretto le proprietà del parallelismo (ad esempio non basta che due segmenti siano compresi fra rette parallele per affermare che sono paralleli oppure congruenti);
• per utilizzare correttamente una simmetria centrale occorre indicare, oltre al centro, le coppie di punti corrispondenti (questo permette di affermare che il segmento che congiunge due punti è parallelo a quello che congiunge i loro corrispondenti);
• ricordiamo inoltre che ogni triangolo viene diviso in due triangoli equivalenti dalla mediana relativa ad un lato.

Commentiamo ora brevemente le risposte che abbiamo scelto:

• SM “C.A. Dalla Chiesa”, gruppo della classe 3S; risposta in cui si fa ricorso alla traslazione; corretta nella dimostrazione, con alcune imprecisioni nella esposizione.
• Alfonso Scarpino, 1G, LS “Scorza”, utilizza unicamente le proprietà del parallelismo, ma eccede nella concisione trascurando due necessarie precisazioni.
• ITI,LST “Berenini”, gruppo della classe2B; risolvono il problema tracciando due opportune rette parallele ai lati del parallelogrammo; fanno due affermazioni imprecise nelle motivazioni.
• Classe 3A programmatori, ITCG “Ruffini”; risoluzione un po’ laboriosa, in cui si ricorre al calcolo delle aree.

NOTA: E’ giunta, con una settimana di ritardo, una risposta dall’ITI “G. Ferraris” di S. Giovanni La Punta (CT). L’abbiamo esaminata ugualmente, apprezzata per la precisione e correttezza nella esposizione, anche se un po’ ripetitiva; non la proponiamo per rispetto di chi ha osservato la scadenza prevista.

Si allega QUI il documento PDF con le risposte corredate dalle nostre osservazioni in parentesi quadra. Con la doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse perché superflue o inopportune.

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