FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Dicembre 2005

Si propone il seguente problema così come è stato formulato in un eserciziario di geometria:

Data una circonferenza di centro O ed un segmento AB congruente al raggio sopra una retta qualunque, l’asse del segmento OB incontra la retta in un punto che è equidistante da A e dalla circonferenza.

1. Dare una definizione motivata di distanza di un punto da una circonferenza.
    

2. Dimostrare l’affermazione del problema e verificare se, secondo la definizione del punto 1), l’enunciato del problema è valido per ogni posizione della retta e del segmento su di essa.

Commento

Abbiamo ricevuto nove risposte provenienti da sette scuole:

• ITCG “Ruffini”, Imperia (IM)
• LS “Aristosseno”, Taranto (TA)
• ITI, LST “Berenini”, Fidenza (PR) – due risposte
• SM “Brofferio”, Asti (AT) – due risposte
• LS “Cremona”, Milano (MI)
• LS “G. B. Scorza”, Cosenza (CS)
• SM “C. A. Dalla Chiesa”, S. Genesio (PV)

Il problema proposto ha offerto l’occasione per far riflettere gli studenti sul concetto di distanza. Nel suo enunciato originale il problema presentava, secondo noi, un uso ambiguo del termine “equidistanza”. Infatti, riferendoci alle figure allegate al testo, quando esiste la intersezione P fra la retta che contiene AB e l’asse di OB si presentano le due possibilità PA=PH oppure PA=PK, ma solo nel primo caso si può affermare che P è equidistante da A e dalla circonferenza.
Nelle risposte pervenute, una parte di studenti ha esaminato la validità dell’affermazione nel caso in cui l’estremo A e l’intersezione P siano dalla stessa parte rispetto l’estremo B, vedi la figura 1.
Alcuni hanno preso in esame l’altra possibilità concludendo che in tal caso l’affermazione del problema non è più vera, ma è comunque valida l’uguaglianza tra PA e la massima distanza di P dai punti della circonferenza, ossia PA=PK, vedi la figura 2.
Gli studenti della classe 3A dell’ITCG “Ruffini” hanno ampliato la loro ricerca giungendo ad una conclusione che commenteremo all’interno della loro risposta.
Riteniamo opportuno precisare inoltre che la definizione di distanza richiesta doveva essere operativa: ossia indicare come si ottiene il segmento PH giustificando la scelta del punto H come punto della circonferenza posto a minima distanza da P.

Presenteremo per intero le risposte che abbiamo ritenuto più complete e di altre le parti più significative.

• LS “Aristosseno”. Risposta completa in cui abbiamo omesso alcune parti ritenute superflue.
• LS “Scorza”. Seconda parte.
• ITCG “Ruffini”. Seconda parte con alcune nostre osservazioni.
• SM “C. A. Dalla Chiesa”. Prima e seconda parte.
• SM “Brofferio”. La prima parte, in cui si propone una definizione della distanza valida per ogni posizione del punto rispetto alla circonferenza.

Tutte queste risposte corredate di commenti sono disponibili in QUESTO FILE (formato pdf - 138Kb).

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