FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Marzo 2005

Il testo del problema:

1. Dato un segmento di lunghezza a, costruire il quadrato equivalente alla
superficie totale del cubo di spigolo a.

2. Confrontare la diagonale del quadrato ottenuto con quella del cubo.

Commento

Abbiamo ricevuto otto risposte di cui una non è stata accolta perché priva della costruzione richiesta.
Le risposte accolte provengono dalle scuole:

Nel problema assegnato si chiedeva di costruire un quadrato equivalente alla superficie di un cubo e di confrontare le diagonali delle due figure.
Le soluzioni pervenute sono corrette anche se non tutte esaurienti nelle giustificazioni e/o precise nella esposizione. In esse si espongono tre diversi percorsi di costruzione, di cui due dedotti dal calcolo della misura del lato del quadrato richiesto e una basata sulla equivalenza di superfici.

Nelle risposte del LS “Scorza”, della SM “Dalla Chiesa” e della SM “De Amicis”, si costruisce la “chiocciola” basata sul teorema di Pitagora per ottenere i segmenti le cui misure, rispetto allo spigolo del cubo, sono successivamente le radici quadrate dei numeri naturali 2, 3, …
Presenteremo in seguito la risposta della SM “Dalla Chiesa”. Le altre sono visibili QUI e QUI in formato PDF.

Nelle risposte del LS “Aristosseno”, della SM “Via Ribolle” e della SM “Tiepolo” si ricorre ad un opportuno triangolo equilatero per costruire il segmento che misura la radice quadrata di sei rispetto allo spigolo del cubo.
Presenteremo in seguito la risposta del LS “Aristosseno”. Le altre sono visibili QUI e QUI in formato PDF.

Infine presenteremo la risposta della SM “Zanella”, in cui si utilizzano i teoremi di Euclide per trasformare un rettangolo, equivalente alla superficie del cubo, nel quadrato equiesteso.

Nella nostra figura, allegata al testo del problema, presentiamo una ulteriore costruzione, basata sul teorema di Pitagora, che permette di ottenere una successione di quadrati di area doppia, tripla, …, rispetto al quadrato iniziale.

NOTA: Le nostre correzioni od osservazioni sono contenute in parentesi quadra. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.

SOLUZIONI

Soluzione proposta da:
Davide Cua, Riccardo Fabbian, Virginia Lucaccini, Thomas Neri, Mattia Rovelli,
 classe 3P, Scuola Media “C. A. Dalla Chiesa”
 San Genesio ed Uniti (Pavia)

 

           

 1) Se “a” è lo spigolo del cubo, l’area di una faccia del cubo è a2 e quindi la superficie totale del cubo è 6a2.
L’area del quadrato equiesteso alla superficie totale del cubo è 6a2 perciò il lato del quadrato è √(6a2 ) =√6√ (a2 ) =a√6
Per costruire il lato del quadrato abbiamo utilizzato la costruzione con riga e compasso di √2, √3, √4 ecc che avevamo fatto in 2° media:
-         Costruiamo un triangolo rettangolo isoscele ABC con il cateto di misura “a”
-         L’ipotenusa del triangolo misura a√2
-         Mandiamo una retta perpendicolare all’ipotenusa CB passante  per il punto C
-         Su questa retta perpendicolare riportiamo un segmento di misura  “a”
-         Uniamo l’estremo del segmento con il punto B
-         Otteniamo un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura :
√(a2 + (a √2 ) 2 )=a√3
-         Ripetiamo la procedura fino ad ottenere un segmento la cui misura è
 a√ 6
-         Costruiamo su questa ipotenusa il quadrato BEFG la cui area è 6 a2.

 2) Diagonale del cubo è a√3
Diagonale del quadrato BEFG è a√6√2 = a√12 = 2a√3. Quindi la diagonale del quadrato BEFG è il doppio della diagonale del cubo.

Soluzione proposta da:
classe I D - Liceo Scientifico “Aristosseno” Taranto (TA)

1.

Essendo la superficie di un cubo di spigolo a: S = 6*a^2, il lato del quadrato avente area S sarà:
l = a*sqrt(6) = a*sqrt(3)*sqrt(2). Se allora costruiamo una circonferenza di raggio a , e quindi il lato del triangolo equilatero in essa inscritto, la cui misura è l’= a*sqrt(3),  il lato l del quadrato richiesto sarà la diagonale del quadrato che ha per lato l’.
E’ infatti l = l’*sqrt(2) .
La costruzione, effettuata con Cabri Géomètre, è nella seguente figura :  

Precisamente: fissato un segmento di misura a, con lo strumento Compasso del Cabri Géomètre , tracciamo una circonferenza c1 di raggio a. Tracciato poi un diametro qualunque e detto R uno dei suoi punti in comune con c1, la circonferenza  c2 avente il centro in R e raggio a individua su c1 gli estremi A e B del lato del triangolo equilatero inscritto in essa  [C, estremo del diametro CR, è il terzo vertice del triangolo].
A partire dal lato CB del triangolo equilatero così ottenuto, costruiamo la diagonale del quadrato di lato CB tracciando la retta perpendicolare a CB nel punto C e quindi la circonferenza c3 di centro C e raggio CB.
Il segmento BD è il lato del quadrato richiesto dal problema.

2.

Essendo BD = a*sqrt(6), la diagonale del quadrato di lato BD sarà d = BD *srqt(2)=2*a*sqrt(3)
mentre la diagonale del cubo di spigolo a  è data da: d’ = sqrt(3*a^2) = a*sqrt(3)
Se ne deduce allora che: d = 2*d’ , cioè la diagonale del quadrato che abbiamo costruito è doppia di quella del cubo.

Soluzione proposta da:
classe 3A (gruppo di approfondimento)
Scuola Media “Zanella”, Roveredo in Piano (PN)

2° Teor. Euclide 1° Teor. Euclide

1)

-    Con i quadrati delle sei facce del cubo costruiamo un rettangolo (le dimensioni, [rispetto allo spigolo del cubo] possono essere: 1 e 6 o 2 e 3) che in tal modo risulta equivalente all’area totale del cubo.
-         Nelle rappresentazioni geometriche dei Teoremi di Euclide il rettangolo può avere per dimensioni:
-         le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa (equivalente al quadrato costruito sull’altezza rispetto all’ipotenusa,  per il 2° teorema );
-         l’ipotenusa e la proiezione di un cateto sull’ipotenusa (equivalente al quadrato sul cateto considerato, per il 1° teorema).
-         Descriviamo la costruzione che utilizza il 2° Teorema di Euclide.   

1.      Rettangolo ABCD;  rette per AB (r) e per AD (s);

2.      Circonferenza c di centro A per D e sua intersezione E con la retta r (EB è l’ipotenusa del triangolo rettangolo che stiamo disegnando);

3.      Punto medio M tra E e B; circonferenza k di centro M per B e sua intersezione F con la retta s (FA è l’altezza del triangolo rettangolo EBF rispetto l’ipotenusa, rettangolo perché inscritto in una semicirconferenza per costruzione). 4. Costruiamo il quadrato AFPQ che risulterà equivalente al rettangolo ABCD (per il 2° Teorema di Euclide). 

2)

Diagonale del cubo:  a√3 ;
Lato del quadrato:  √(6a2); 
Diagonale del quadrato: √(6a2)*√2  = √(12a2) = a √12.

Il rapporto tra la diagonale del cubo e la diagonale del quadrato risulta: √(1/4) = 1/2.

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