FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Maggio 2005

Il testo del problema:

1. Dati un rettangolo ABCD e un generico segmento EF, costruire un rettangolo EFGH simile a quello assegnato.

2. Considerato ora un qualsiasi triangolo PQR inscrivere in esso un rettangolo simile ad ABCD, con un lato ad esempio su PQ. [Suggerimento: costruire prima, all’esterno di PQR, il rettangolo PQST simile ad ABCD, poi congiungere S e T con …]

Descrivere e giustificare le costruzioni.

Commento

Abbiamo ricevuto quattro risposte dalle scuole:

Un saluto di benvenuto alla scuola media “A. Brofferio” di Asti.

Come di consueto il problema proposto comprendeva due parti.
Nella prima, assegnati un rettangolo ed un generico segmento, si chiedeva di costruire il rettangolo simile a quello dato avente un lato su quel segmento.
C’è chi ha interpretato il “generico segmento” in modo molto ampio, considerandolo in una posizione qualunque rispetto al rettangolo e chi, invece, lo ha considerato parallelo ad un suo lato.
Si poteva anche sovrapporre il segmento a un lato del rettangolo (vedi figura allegata al testo).
Nelle risposte pervenute sono stati seguiti due percorsi di costruzione: tracciata una diagonale del rettangolo, si è utilizzata la similitudine dei triangoli rettangoli, oppure, individuato il centro dell’omotetia, si è ottenuto il rettangolo simile per la proprietà della conservazione del parallelismo.

Nella seconda parte del problema si chiedeva di inscrivere in un triangolo PQR un rettangolo simile a quello dato, con un lato su PQ. Si suggeriva poi un percorso che utilizzasse la costruzione precedente.
La scelta del lato PQ doveva ovviamente essere subordinata alla possibilità di eseguire la costruzione richiesta.

Ricordiamo che non possiamo accettare il ricorso alla misura per ottenere le costruzioni richieste.
Ribadiamo che per costruzione si intende un percorso eseguibile con riga e compasso. Per abbreviare il percorso non chiediamo di descrivere anche le costruzioni di base come la parallela, la perpendicolare, il trasporto di un segmento o di un angolo,…, che sono già fornite dal software Cabri o altri.

Commentiamo brevemente ciascuna risposta, riportando quelle che abbiamo ritenuto più complete:

NOTA: vista la complessità di molti grafici preferiamo per questo mese pubblicare le risposte nel pratico formato PDF Adobe Acrobat.

Classe 1D, LC “Aristosseno”; esauriente la prima parte, valido il percorso nella seconda, ma incompleta la sua giustificazione. Vedi QUI la risposta completata da una nostra osservazione (pdf).

Gruppo di studenti, classe 3F, SM “A. Brofferio”; abbiamo accolto la seconda proposta di risoluzione. Le costruzioni sono corrette, non sono esaurienti le motivazioni, ma, come già detto, questo può essere accettato per una scuola media. Vedi QUI la risposta (pdf).

M: Scarpino, classe 2G, LS “G.B. Scorza”; ha risolto la prima parte ricorrendo alla omotetia (vedi SM “Brofferio”), ma non ha interpretato correttamente il suggerimento nella seconda parte.

Classe 2B, LST “F. Berenini”; costruzione basata sulla similitudine dei triangoli rettangoli, ma non dichiarata esplicitamente, nella prima parte; una imprecisione di procedimento (il punto F viene individuato due volte con diversi percorsi) nella seconda parte.

NOTA 1: Le nostre correzioni od osservazioni sono contenute in parentesi quadra. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.

NOTA 2: Il problema poteva essere proposto in modo più breve:
Dati un rettangolo ABCD ed un triangolo PQR, inscrivere nel triangolo un rettangolo EFGH simile a ABCD, con un lato, ad esempio, su PQ.
Se qualcuno vuole presentare una costruzione diversa da quella qui trattata, può inviarcela entro Dicembre 2005.

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