FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Dicembre 2004

ll testo del problema:

Lungo la diagonale di un quadrato sono disposte cinque monete tutte uguali in modo che siano a due a due tangenti fra loro e che la prima e l'ultima siano tangenti ai lati del quadrato.

1. Costruite, giustificandola, una figura che illustri la situazione.

2. Qual è il maggior numero di monete, uguali a quelle date, che riuscite a disporre nel quadrato?
   In quale modo?

3. Indicato con r il raggio delle monete, determinate, in funzione di r, il lato del quadrato.

Commento

Abbiamo ricevuto sette risposte di cui due provengono da scuole superiori.
In una risposta il testo è stato scritto nel file della figura, ripetiamo ancora di non farlo perché ci crea problemi di gestione.

Le risposte provengono dalle scuole:

• LS “Aristosseno” Taranto (TA)
• Scuola media di Vicoforte, I.C. “S. Michele”, Mondovì (CN)
• SM “G. B. Tiepolo”, Milano (MI)
• LS “G. B. Scorza”, Cosenza (CS)
• SM “Marco Polo”, I.C. “I. Calvino” Rolo (RE)
• SM “C. A. Dalla Chiesa”, S. Genesio ed Uniti (PV)
• SM “Zanella”, Roveredo in Piano (PN)

Nel problema si proponeva come primo quesito una costruzione che raffigurasse la sistemazione di cinque monete tutte uguali lungo la diagonale di un quadrato, secondo un modo richiesto. Nella maggior parte delle risposte questa prima fase è stata risolta in modo soddisfacente, ricorrendo a vari percorsi di risoluzione.
Come secondo quesito si chiedeva di inserire nel quadrato ottenuto il maggior numero di monete uguali alle prime cinque. Tutti hanno individuata la soluzione di questa parte del problema, ma pochi ne hanno dato una giustificazione e in nessuna risposta questa è esauriente.
Successivamente si chiedeva di calcolare il lato del quadrato dato il raggio delle monete.

Riteniamo opportuno precisare quanto segue:

• quando si fa ricorso alle simmetrie occorre precisare il centro o l’asse rispetto a cui si opera la trasformazione;
• non è corretto utilizzare il calcolo delle misure nelle costruzioni geometriche;
• non è corretto interporre il simbolo “=” fra l’espressione che rappresenta un numero irrazionale e un suo valore approssimato;
• il simbolo “=” si usa solo fra simboli matematici, non fra parole del linguaggio.

Abbiamo scelto due risposte complete e parti di altre in modo da presentare i vari modi di risoluzione:

• LS “G. B. Scorza”, risposta completata da una nostra correzione all’inizio della prima parte ed un commento nella seconda. Poiché contiene molte formule, questo file sarà visibile in formato PDF, “cliccando” sul link predisposto.
• S.M. “C. A. dalla Chiesa”, risposta completa, nelle cui costruzioni si utilizzano le simmetrie.
• S.M. “Tiepolo”, la seconda parte; in essa si fornisce una giustificazione della costruzione che, pur con qualche imprecisione, riteniamo accettabile per studenti di scuola media inferiore.
• S.M. “Marco Polo”, prima e terza parte in quanto si differenziano dalle precedenti.
• S.M. “Zanella”, prima parte, in cui si fornisce una costruzione un po’ complessa ricorrendo al teorema di Talete.

P.S. Per non appesantire il problema abbiamo volutamente richiesto il MAGGIOR NUMERO e non il MASSIMO NUMERO di monete che si riusciva ad inserire nel quadrato così costruito.
Dopo aver calcolato il lato si può osservare che non è possibile disporre in quel quadrato quattro monete a due a due tangenti fra loro e ciascuna tangente allo stesso lato.
La disposizione lungo la diagonale che abbiamo suggerito consente di ottenere il massimo numero possibile.

NOTA: Le nostre correzioni od osservazioni sono contenute in parentesi quadra. Con doppia parentesi quadra vengono indicate le parti omesse.

Soluzione proposta da
Mercedes Scarpino, classe 2G
Liceo Scientifico “G. B. Scorza”, Cosenza (CS)

Abbiamo scelto di pubblicare questa soluzione in formato PDF a causa dei numerosi simboli grafici utilizzati nel testo.

Per scaricare o visualizzare il file selezionare QUI.

Vi ricordiamo che è necessario il diffuso software di visualizzazione Acrobat Reader scaricabile gratuitamente:

Soluzione proposta da
Riccardo Fabbian, Thomas Neri e Mattia Rovelli
Classe 3° P Scuola Media “C.A. Dalla Chiesa”
San Genesio ed Uniti (PV)

1) Abbiamo disegnato una circonferenza di centro O ed in essa due diametri perpendicolari HK e SR. Abbiamo tracciato le rette m ed n tangenti alla circonferenza nei punti H ed S. Abbiamo così costruito due rette perpendicolari e chiamato il loro punto di intersezione A. Poi abbiamo disegnato la retta passante per A ed O. Su questa retta abbiamo riportato per quattro volte il diametro HK a partire da O ed abbiamo così trovato i centri delle altre quattro circonferenze tangenti a due a due ed allineate sulla retta AO. Indicato con O2 il centro della terza circonferenza questo punto è anche punto d’intersezione delle diagonali del quadrato. Troviamo il vertice C del quadrato facendo il simmetrico di A rispetto ad O2 e i vertici B e D del quadrato mandando per C le rette parallele alle rette m ed n e trovando i loro punti d’intersezione con n ed m . Ecco trovato un quadrato ABCD con cinque monete disposte sulla diagonale tangenti a due a due.

2) Sulla seconda diagonale abbiamo riportato altre quattro circonferenze simmetriche rispetto [[…]] al centro O2. Poi abbiamo tracciato due rette perpendicolari alla diagonale AC e due rette perpendicolari alla diagonale BD e passanti per i centri delle quattro circonferenze tangenti alla circonferenza di centro O 2 . I punti di intersezione di queste rette I, L, M, N, sono i centri delle ultime quattro circonferenze. In totale nel quadrato ci stanno tredici monete. Le circonferenze blu hanno raggio uguale ad r perché il lato del quadrato [perche?] ILMN, uguale alla distanza dei centri della seconda e quarta circonferenza verde, misura 4r.
LM=r+2r+r e quindi [le circonferenze blu] sono tangenti alle altre circonferenze [quali?] [Ciascuna di esse è anche tangente a un lato del quadrato].

3) Consideriamo il triangolo OAH, OA= r*sqrt2; la diagonale del quadrato ABCD misura 2r*sqrt2 +8r quindi il lato del quadrato misura AB= (2r*sqrt2 +8r) / sqrt2.

Soluzione proposta da
Classe 3F, Scuola Media “G.B. Tiepolo”
Milano (MI)

1. [[…]]

2.
Disegniamo l’altra diagonale del quadrato (AC), sulla quale disegniamo altre quattro circonferenze uguali a quelle date. Tracciamo le perpendicolari alle diagonali passanti per E, F, G, N. Troviamo il punto R. Il quadrato FOGR (quadrato perché ha tre angoli di 90° e due lati adiacenti congruenti) ha il lato di 2r (r raggio), perciò la distanza dalla circonferenza di centro F o G al punto R è uguale ad un raggio, uguale agli altri raggi. Dimostrando che R si trova sulla stessa retta di E e N (perché [sia E, N come R, N] sono vertici opposti di un quadrato) abbiamo anche dimostrato la possibilità di costruire un’altra circonferenza con centro in R tangente al lato CD e alle circonferenze di centro F e G. Si può ripetere lo stesso procedimento negli altri tre spazi, raggiungendo un totale di 13 circonferenze.
[La figura è incompleta per problemi tecnici nell’uso del software Cabri]

3. [[…]]

Soluzione proposta da
Paolo Goldoni, classe 3A
Scuola media “Marco Polo”
IC “I. Calvino”, Fabbrico Rolo (RE)

1)

a) Traccio due rette perpendicolari per il punto A;
b) Con centro in A traccio una circonferenza di raggio arbitrario AB, che diventerà poi il raggio delle monete;
c) Sempre con lo stesso raggio traccio due circonferenze di centro B e C e chiamo D l’altro loro punto di intersezione (vedi fig.1);
d) Traccio la bisettrice AD dell’angolo retto;
e) Con centro in D e raggio AB traccio la circonferenza rappresentante la prima moneta;
f) Con centro nell’intersezione dalla parte opposta di A rispetto a D dell’ultima circonferenza con la bisettrice traccio un’altra circonferenza con lo stesso raggio, e così via, fino ad ottenere 5 circonferenze a due a due tangenti esternamente tra loro e col centro sulla bisettrice.
g) Dal centro E dell’ultima circonferenza mando la parallela ad AB, che interseca la circonferenza nel punto F (vedi fig.2);
h) Dal punto F mando la parallela a AC, che interseca la retta AD in G;
i) Mando da G la parallela ad AB completando il quadrato (fig.3).

2) [[…]]

3)

a) Considero il quadrato ottenuto congiungendo i vertici delle quattro circonferenze situate agli estremi delle diagonali (vedi fig.5);
b) La sua diagonale misura e quindi il suo lato misura 8r/sqrt2;
c) Il lato del quadrato contenente le monete supera quello del quadrato precedente di per cui misura (8/sqrt2 +2)r.

Soluzione proposta da
Classe 3A, Scuola Media “Zanella”
Roveredo in Piano (PN)

Due semirette perpendicolari di origine A; bisettrice n; punto O su n; retta r perpendicolare ad una semiretta per O, loro intersezione B; circonferenza k di centro O per B. Se il segmento OB (raggio di k) è 1, il segmento OA è sqrt2 (anche AB è raggio).

1.

Quadrato MNPQ; consideriamo la diagonale MP.
1. Punto medio di MP: C (è il centro della terza circonferenza); 2. Semiretta di origine M; 3. Compasso: centro M e raggio OA della Fig. 1: circonferenza c e sua intersezione R con la semiretta; 4. Compasso: centro R e raggio OB (Fig.1), circonferenza d, sua intersezione S con la semiretta; 5. Simmetria centrale di R rispetto S: T; analogamente per ottenere i punti U e V; 6. Segmento CV; rette parallele a CV per U, per T per S, per R e loro rispettive intersezioni con la diagonale MP: U', T', S', R'; 7. Circonferenza di centro R' per S'; circonferenza di centro T' per U'; circonferenza di centro C per U'; 8. Simmetria centrale delle prime due circonferenze tracciate rispetto C (Era sufficiente determinare i punti R' e S' e tracciare la circonferenza di centro R' per S' e con opportune simmetrie centrali disegnare le altre quattro circonferenze).
I segmenti MR , RS, ST, TU, UV misurano rispettivamente sqrt2, 1, 1, 1, 1, per costruzione; i segmenti MR’, R’S’, S’T’, T’U’, U’V’ staranno nella stessa proporzione per il Teorema di Talete.

2. [[…]]

3. [[…]]

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