FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Ottobre 2002

Il testo del problema:

a) In un qualunque triangolo ABC costruire sul lato AB un punto P in modo che i triangoli PCA e PCB abbiano ugual perimetro. Giustificare la costruzione.
b) E' unico il punto trovato?
c) Ripetendo la costruzione sugli altri due lati di ABC si può osservare un fatto "notevole", di cui non si chiede la dimostrazione. Qual è?

Le nostre figure

 

Commento

Abbiamo ricevuto in tutto sei risposte, una sola dalla scuola media inferiore.

Le scuole che hanno partecipato sono:

Nel problema proposto si chiedeva di dividere in modo opportuno un qualunque triangolo in due parti isoperimetriche. Si chiedeva inoltre di indagare sulla "unicità" del risultato raggiunto e di scoprire una proprietà "notevole" della figura ottenuta.

Nelle risposte pervenute sono stati individuati due diversi percorsi per determinare la posizione del punto P, sul lato AB, da congiungere col vertice C; ciascuna costruzione porta ad un solo punto, come in tutte le risposte viene asserito e come viene bene puntualizzato dai ragazzi di Pergine che affermano: "Per come è stato costruito APC è unico"!
Forse non abbiamo posto in modo corretto la domanda del punto b). Lo scopo era di stimolare una indagine che andasse oltre la evidenza della costruzione eseguita, o ricercando un percorso alternativo, o ricorrendo ad un ragionamento per assurdo per poter concludere che si otteneva comunque sempre lo stesso punto.
La questione della unicità o meno di una soluzione viene spesso trascurata dagli studenti, che in generale si fermano al primo risultato ottenuto.

Il problema conduce poi alla scoperta di un punto "notevole" in quanto i tre segmenti che dividono il triangolo in due parti isoperimetriche, concorrono in uno stesso punto. Non abbiamo richiesto la dimostrazione di questa proprietà perché ci sembrava al di sopra delle possibilità di un biennio di scuola secondaria superiore. Alcuni spunti per la dimostrazione sono stati pubblicati sul bollettino CABRIRRSAE n. 15.
In una risposta questa proprietà non è stata scoperta, mentre in un'altra questa parte del problema non è stata affrontata. Qualcuno invece è andato oltre rilevando una ulteriore caratteristica.

Abbiamo convenuto di presentare le seguenti soluzioni:

Al commento inviato via e-mail allegheremo solo la soluzione della SM "Dalla Chiesa".

NOTA: come di consueto le correzioni o le osservazioni sono racchiuse in parentesi quadre; in doppia parentesi quadra si trovano invece le parti superflue o quelle omesse.

Soluzione proposta da:
gli studenti della 3a P (su intuizione di Marco Zetti)
S.M.S. "C. A. Dalla Chiesa" di S. Genesio ed Uniti (PV)


a)
Dato che sappiamo per certo che i triangoli PCA e PCB in cui verrà divisa la figura avranno un lato in comune cioè CP, affinché i perimetri dei due triangoli siano uguali la misura di CP è ininfluente , è sufficiente che la somma dei lati CA + AP sia uguale alla somma di CB + BP.
Consideriamo la retta passante per i punti A e B, riportiamo con la funzione compasso puntando in A il segmento CA, puntando in B il segmento CB, chiamiamo i corrispondenti del punto C sulla retta, così ottenuti, C’ e C’’.
Troviamo il punto medio del segmento C’C’’.
Questo è il punto P cercato.
Ripetiamo la costruzione per i lati CA e CB e otteniamo i punti P’ e P’’.

b)
Il punto P trovato è unico essendo il punto medio del segmento C’C’’ [risposta non soddisfacente, si veda in proposito quanto detto nel commento].

c)
Abbiamo verificato, con il software Cabri, nella costruzione effettuata che i segmenti CP, BP’, AP’’ si incontrano in uno stesso punto come le altezze, le bisettrici, gli assi, le mediane di un triangolo.
I punti P, P’, P’’, dividono i lati del triangoli in sei segmenti a due a due di uguale lunghezza [quest’ultima affermazione poteva essere facilmente dimostrata].

Soluzione proposta da:
Luna Tomisich classe IIa scientifico
Liceo Scientifico “B. Pascal” - Merano (BZ)

A)

B) [[…]]

C) [[…]]

Soluzione proposta da:
Classe 2 E
Liceo Scientifico “G. Galilei” Bitonto (BA)

a)
[[…]]
Abbiamo anche osservato che ponendo AB=c, BC=a, AC=b e AP=z si ha che PB=c-z e quindi vale la seguente uguaglianza: b+z=c-z+a, da cui AP=z=(a+c-b)/2, mentre PB=c-z=c-(a+c-b)/2=(c+b-a)/2.

b) [[…]] [vedi commento].

c)
Ripetendo la costruzione sugli altri due lati di ABC si osserva che i segmenti CP, BQ e AR si incontrano nello stesso punto O, che appartiene all’asse della base nel caso ABC fosse isoscele e coincide con il centro se fosse equilatero.
Inoltre se AQ=x e CR=y, con calcoli analoghi al punto a):
AQ=x=(a+b-c)/2 e QC=b-x=(c+b-a)/2=PB
CR=y=(a+c-b)/2=AP e RB=a-y=(a+b-c)/2=AQ.

Dunque i punti P, Q, R dividono il contorno.[i lati] del triangolo in 6 segmenti a due a due congruenti: AQ=BR, QC=PB e CR=AP, come si evince dalla figura 2.

Soluzione proposta da:
Marco Rossi e Matteo Geri (e discussa con la classe III ST B)
Liceo Scientifico Tecnologico “A. Volta” - LODI

a) Costruzione:

1. Per prima cosa abbiamo disegnato un triangolo scaleno qualunque ABC.

2. Abbiamo considerato il caso CB>AC. Puntando il compasso in C e con apertura AC abbiamo tracciato una circonferenza che ci ha permesso di trovare il punto D, interno al lato CB, intersezione tra la circonferenza e il lato stesso CB.

3. Puntando poi il compasso in A e con apertura BD abbiamo tracciato una circonferenza in modo da trovare il punto E, intersezione tra la seconda circonferenza e il lato AB. Siamo sicuri che E è interno al lato AB, infatti perché il triangolo sia costruibile AB deve essere maggiore della differenza degli altri due. [NOTA: Si ottiene lo stesso risultato sovrapponendo il lato maggiore sul minore; si veda in proposito la figura che precede il commento]

4. Infine [[abbiamo tracciato l’asse del segmento EB, determinando il suo punto medio]] [abbiamo trovato il punto medio di EB] che abbiamo chiamato P.

5. Il punto P è quello richiesto: per disegnare i due triangoli abbiamo unito il punto C con il punto P.

Giustificazione della costruzione:

b) [[…]] [vedi commento]

c) [[…]]

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