FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)


Novembre 2002


Il testo del problema:

Scelta a piacere una unità di misura OU, rappresentata da +---+, e dati i tre segmenti

P+---+---+---+---+---+Q
R+---+---+---+S
T+---+---+---+---+---+---+---+V

costruire il parallelogrammo ABCD in cui due lati consecutivi misurino come PQ e RS, e una diagonale misuri come TV.
Sia I il punto medio del lato DC e K il punto in cui il segmento BI incontra la diagonale AC.

a) Qual è il rapporto fra KC e AC?
b) In quale punto la retta DK incontra il lato CB?

Giustificare le risposte.



Commento

Ci sono giunte risposte da otto scuole, una di queste risposte con due soluzioni distinte e una con due diversi percorsi nel secondo quesito. Anche questa volta ha partecipato una sola scuola media, la stessa dello scorso mese. Si tratta di una caduta di interesse per la geometria? Speriamo di no.

Queste le scuole che hanno partecipato:

Nel problema proposto si assegnavano tre segmenti costruiti a partire da una unità prefissata e si chiedeva di costruire con essi un parallelogrammo, dati due lati e una diagonale. Seguivano poi due quesiti che non dipendevano dai segmenti assegnati, ma dalle caratteristiche generali dei parallelogrammi.
Lo scopo della costruzione era di invitare i ragazzi ad eseguire con precisione la figura e ad indagare su eventuali diversi modi per ottenerla. Sono quindi da considerarsi INCOMPLETE le risposte in cui non è stata illustrata la costruzione richiesta.
Sono stati individuati due diversi modi per ottenere il parallelogrammo: o utilizzando la caratteristica dei lati o ricorrendo alla proprietà delle diagonali. Solo in una risposta è stata valutata la possibilità di ottenere più figure, fra loro congruenti, ma con lo stesso tipo di costruzione.

Nelle dimostrazioni dei due quesiti proposti sono stati seguiti diversi percorsi: chi ha utilizzato la similitudine fra triangoli, chi la congruenza, chi ha fatto ricorso al teorema di Talete (applicato al triangolo), chi ha usato la proprietà del baricentro.
Le giustificazioni sono in generale corrette e questo ci mette nell'imbarazzo della scelta delle risposte da riportare all'attenzione di tutti i partecipanti.
Abbiamo riscontrato un solo errore di concetto (che segnaleremo alla classe interessata), e alcune imprecisioni sulle quali riteniamo opportuno soffermarci:

Abbiamo stabilito di presentare le seguenti risposte:

NOTA: come di consueto le correzioni o le osservazioni sono racchiuse in parentesi quadre; in doppia parentesi quadra si trovano invece le parti superflue o quelle omesse.


Soluzione proposta da:
Classe 3a P  S.M.S. "C.A. Dalla Chiesa"
San Genesio ed Uniti (PV)

a) Abbiamo costruito con Cabri i segmenti PQ, RS e TV partendo da un segmento unitario mediante la simmetria centrale, nei rapporti stabiliti dal testo del problema.
Mediante la funzione “trasporto di misura” abbiamo costruito il segmento BC uguale a PQ e con la funzione “compasso” puntando rispettivamente in B e in C e con aperture rispettivamente uguali a RS e TV abbiamo costruito il lato AB consecutivo di BC e la diagonale AC del parallelogrammo.
Abbiamo trovato il quarto vertice tracciando la parallela a BC passante per A e la parallela ad AB passante per C.

Preso il punto I come il punto medio di CD consideriamo i triangoli ABK e CIK:

[[ABK è uguale a CIK perché è il terzo angolo di due triangoli con due angoli uguali.]]
Per questo motivo ABK e CKI sono triangoli simili e quindi hanno i lati in proporzione:
CI è uguale a un mezzo di CD quindi CI è uguale a un mezzo di AB, allora CK è uguale a un mezzo di AK e quindi CK = 1/3 AC [quindi il rapporto fra CK e AC è 1/3, vedi commento].

b) Chiamo F l’intersezione della retta DK con BC.
Considero i triangoli CKF e AKD:

[[ADK è uguale a KFC perché è il terzo angolo di due triangoli con due angoli rispettivamente uguali]].
Per questo motivo AKD e FKC sono triangoli simili quindi hanno i lati in proporzione.
Avendo dimostrato al punto a) che KC = 1/2 AK allora FC = 1/2 AD quindi F è il punto medio del lato BC.


Soluzione proposta da:
Classe 2aB – Liceo Scientifico "E. Amaldi"
Bitetto (BA)

In riferimento alla figura, su una semiretta di origine O, prendiamo un punto U così OU=u (unità di misura) e costruiamo il simmetrico B di O rispetto ad U, di U rispetto a B, sino ad arrivare in A; evidentemente AB=5u.

Dopo disegniamo le circonferenze di centro B e raggio 3u, di centro A e raggio OA=7u; il punto di intersezione C è tale che BC=3u e AC=7u.

Costruiamo il punto medio E tra A e C ed il simmetrico D di B rispetto ad E: il quadrilatero ABCD è un parallelogramma avendo le diagonali che si dimezzano.

Ripetendo la costruzione (traslando in A’, altro punto della semiretta, il vettore OU), ma con le circonferenze di centro A’ e raggio 7u, di centro B’ e raggio 3u, si costruisce l’altro parallelogramma possibile.
Quindi i parallelogrammi sono due, tra loro equivalenti [congruenti, vedi commento], poiché il secondo equivale [è congruente] al simmetrico del primo, rispetto alla retta della base: perciò ci riferiamo a quest’ultimo [in realtà si ottengono quattro parallelogrammi, considerando anche il simmetrico del secondo rispetto alla retta della base]

a) [[…]]
b) [[…]]


Soluzione proposta da:
Classe 2a E - Liceo Sciantifico “G. Galilei”
Bitonto (BA)

Costruiti i segmenti OU, PQ, RS, TV come richiesto con le funzioni compasso e simmetria centrale, abbiamo ottenuto il parallelogrammo ABCD nel seguente modo:
tracciata una semiretta di origine A, abbiamo riportato su di essa con la funzione compasso il segmento AB=PQ; sempre con la funzione compasso abbiamo trovato il punto C come intersezione delle circonferenze di centro B e raggio RS e di centro A e raggio TV; infine il punto D è stato individuato come punto di intersezione delle rette per A parallela a BC e per C parallela ad AB.

a) Detto I il punto medio del lato DC e K il punto in cui il segmento BI incontra la diagonale AC,
abbiamo considerato il punto F medio del segmento AB e osservato che il quadrilatero FBID è un parallelogramma avendo FB parallelo a DI e FB=DI per costruzione; da ciò segue che DF è parallelo a IB. Sia E il punto intersezione fra AC e DF.

Applicando il teorema di Talete alle rette parallele DF e IB tagliate dalle trasversali DC e CA si ha che: essendo DI=IC per costruzione, anche EK=KC;
applicando ancora il teorema di Talete alle stesse rette parallele tagliate da CA e AB si ha che: essendo AF=FB per costruzione anche AE =EK;

Per transitività si ha pertanto che AE=EK=KC e quindi il rapporto tra KC e AC è 1/3.

b) Tracciate le diagonali DB e IF del parallelogrammo FBID, queste si incontrano nel punto O medio per ciascuna diagonale poiché in un parallelogrammo le diagonali si tagliano scambievolmente a metà, pertanto DO=OB.

Nel triangolo BCD, il segmento CO è la mediana relativa al lato BD, il segmento BI è la mediana relativa al lato DC e dunque K, loro punto d’incontro, risulta essere il baricentro del triangolo; ne consegue che la retta DK, passando per il baricentro contiene la terza mediana del triangolo e quindi va ad intersecare il lato CB nel suo punto medio G.


Soluzione proposta da:
Classe 2
a D - Liceo Scientifico “Francesco d’Assisi”
Roma

Creo la retta r

Con il trasporto di misura [procedura non corretta, vedi commento] riporto [su r] il segmento TV lungo 7u di estremi AC.

Con centro in A raggio PQ traccio la circonferenza C1; con centro in C e raggio RS traccio la circonferenza C2. IL punto di intersezione tra le circonferenze lo chiamo D.

Creo la semiretta d'origine D passante per O punto medio di AC. Applico una simmetria centrale di centro O per il punto D, trovando così il punto B: questo è il quarto punto del parallelogramma richiesto.

Ho applicato le proprietà dei parallelogrammi:
1) Ogni diagonale lo divide in due triangoli congruenti;
2) Il parallelogramma è un quadrilatero convesso dotato di un centro di simmetria.

a) Considero il triangolo BCD: K è il suo baricentro perché punto di incontro delle mediane IB e DM.
Sapendo che il baricentro divide ogni mediana in due parti tali che la parte contenente il vertice è doppia dell'altra, si ha: KC=2OK. AO =~ OC per le proprietà dei parallelogrammi. OC=3OK e quindi AC=6OK. Perciò KC/AC=2OK/6OK=1/3.
Quindi il rapporto tra KC e AC è 1/3.

b) La retta DK interseca il lato CB nel suo punto medio M perché K è il baricentro.


Soluzione proposta da:
Classe2a F- Liceo Scientifico di Stato Sperimentale "Leonardo"
Brescia

 


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