FLATlandia
"Abbi pazienza, ché il mondo è vasto e largo". (Edwin A. Abbott)

Marzo 2003

Il testo del problema:

a) E’ dato un tetraedro regolare ABCD di lato l . I punti medi di ciascuno spigolo, congiunti a due a due, formano dei triangoli: quanti sono quelli equilateri? Quale figura solida formano?
Giustificare le risposte.

b) Detto M il punto medio dello spigolo BD e N il punto medio di AC, calcolare la misura della distanza MN in funzione di l.

Commento

Non avendo ricevuto risposte al problema di Marzo entro il termine prestabilito, anche in quella occasione lo abbiamo riproposto spostando la presentazione della soluzione al 19 Maggio. Come abbiamo già comunicato nel commento del mese scorso, ci sono pervenute due risposte in Aprile. A queste non se ne sono aggiunte altre.

Le scuole che hanno partecipato sono:

Nel problema proposto si chiedeva di contare quanti triangoli equilateri si formano congiungendo i punti medi, e SOLO essi, degli spigoli di un tetraedro regolare e quale figura solida individuano tali triangoli. Si chiedeva poi di calcolare la lunghezza di un determinato segmento.
Ovviamente il solido richiesto è un ottaedro regolare, ma si dovevano giustificare le risposte; ad esempio:

In entrambe le risposte i ragazzi hanno contato, o tentato di contare, tutti i triangoli equilateri che si formano, senza però precisare quali sono quelli richiesti. In entrambe è corretto il calcolo della lunghezza richiesta.
Gli studenti della scuola media "C. A. dalla Chiesa" hanno fornito una descrizione corretta e molto chiara della figura, ma quasi priva di giustificazioni.
Gli studenti dell'ITA "Pastori", oltre ad alcune imprecisioni nel conteggio dei triangoli e a qualche carenza nelle giustificazioni, non hanno posizionato nel modo da noi proposto le lettere della figura. Quest'ultimo fatto ha creato una certa confusione nella loro risposta ed impedito la sua possibilità di pubblicazione.

Soluzione proposta da
Classe 3P - Scuola media "C.A. dalla Chiesa"
San Genesio ed Uniti (BS)

Abbiamo costruito un modellino del tetraedro con le cannucce e i pulisci pipa e con ago e filo abbiamo unito i punti medi degli spigoli.

Il tetraedro [regolare] è un solido formato da 4 facce triangolari regolari.
In un triangolo equilatero [di lato l ] il triangolo che si forma congiungendo i punti medi dei lati è, per il teorema di Talete, equilatero e la misura del lato è l/2.

Nel tetraedro si formano: 16 triangoli equilateri sulle facce e 4 all’interno del solido.
Il tetraedro di partenza ABCD lo possiamo vedere scomposto in 4 tetraedri di spigolo l/2 e in un ottaedro di spigolo l/2.
L’ottaedro regolare è formato da due piramidi uguali a base quadrata aventi la base coincidente; il segmento congiungente il punto M di BD e il punto N di AC è la diagonale di questo quadrato.

MN=sqrt[(l/2)^2 + (l/2)^2 ] = sqrt[(l ^2)/4 + (l ^2)/4 ] = l/sqrt(2)

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