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Maggio 1999
Il testo del problema:
a) Disegna un trapezio rettangolo ABCD, retto in A e D, e traccia la
circonferenza g che ha come diametro il lato BC.
Dimostra che se P è un punto comune alla circonferenza g ed al lato AD allora P divide AD
in due parti che sono i medi di una una proporzione avente come estremi le basi del
trapezio.
b) Dato un qualunque trapezio rettangolo ABCD, retto in A e D,
fornisci ora una costruzione per individuare sul lato AD un punto che lo divida in due
parti proporzionali alle basi del trapezio.
Esiste sempre tale punto? E' unico? Giustifica la costruzione e motiva le risposte.
Chi vuole può cimentarsi anche nel seguente quesito:
c) Se il trapezio non è rettangolo sono ancora valide le proposizioni "a)" e "b)"? Perché?
Premessa:
Abbiamo ricevuto quattro risposte provenienti da quattro scuole di cui una è una
scuola elementare. Da quest'ultima scuola avevamo già ricevuto nei mesi scorsi soluzioni
per lo più descritte in modo intuitivo.
Abbiamo convenuto di riportare nel sito web di FLATlandia anche la soluzione inviata dagli
allievi della suddetta scuola elementare perché, questa volta, suggeriscono interessanti
spunti di indagine.
Il problema di Maggio proponeva di operare, sullo stesso tipo di figura, due diverse
costruzioni per ottenere due distinte proprietà, chiedendo poi se era possibile in
entrambi i casi una generalizzazione. Questo è stato recepito dai ragazzi della scuola
elementare e in una sola delle risposte giunte dalle altre scuole.
Le scuole che hanno partecipato sono:
Riportiamo interamente la risposta proveniente dal Liceo Majorana di Torino e solo la prima parte delle altre che riteniamo interessanti per il diverso approccio con cui è stato risolto il quesito.
Soluzione proposta da:
Classe 5a A - Scuola Elementare "Villaggio Europa"
Dir. Did. II Circolo - Alessandria
Soluzione proposta da:
Daniele Maldera, Diego Piccinelli
classe 2E, Liceo Scientifico "E. Majorana"
di Torino
a) Consideriamo i due triangoli APB e PCD e mostriamo che sono simili: indichiamo con x l'angolo ABP, l'angolo in A e' retto e l'angolo APB=90°-x perche' la somma degli angoli interni di un triangolo e' 180°. L'angolo BPC e' retto peche' il triangolo BPC e' inscritto nella semicirconferenza di diametro CB, allora DPC = 180° - APB-BPC = 180° - (90° - x) - 90° = x, l'angolo in D è retto e quindi i due triangoli, avendo gli angoli interni congruenti, sono simili. I lati opposti ad angoli congruenti sono allora proporzionali, in particolare AB:AP=PD:DC.
b) Consideriamo la diagonale BD, la parallela a BD passante per C interseca la retta per A e B in un punto E. Tracciamo la retta per E e D e la parallela ad essa passante per B, quest'ultima retta interseca AD in un punto Q che e' quello cercato. Motivazione: BE=DC perche' lati opposti di un parallelogramma, applicando il teorema di Talete con AD e AE come trasversali, DE e la sua parallela per B come parallele si ha la proporzione cercata.[AB:BE=AQ:QD] Tale punto esiste sempre, ma non e' unico perche' anche il suo simmetrico rispetto al punto medio di AD soddisfa la stessa condizione. [Detto Q' tale punto si ha Q'M=MQ, M punto medio di AD, per cui Q'D=QA e Q'A=QD]
c) Se il trapezio non e' rettangolo la proposizione "a)" non e' piu' valida, infatti gli angoli in A e in D del trapezio non sarebbero piu' uguali (ma supplementari) e quindi i due triangoli non sarebbero piu' simili. La costruzione b) sarebbe ancora valida, perche' sfrutta solo il teorema di Talete, ma non la perpendicolarità.
Soluzione proposta da:
Classe 2E Liceo Scientifico "G.Galilei", Bitonto (BA)
Parte a) Sia ABCD un trapezio rettangolo in A e D (fig. a) e g la circonferenza di
diametro BC. Si verificano i seguenti casi : 1) g non interseca AD se AD< 2*sqrt(AB*DC)
fig.(1); 2) g è tangente ad AD nel suo punto medio P se AD=2*sqrt(AB*DC) fig.(2); 3) g è
secante AD in P' e P", equidistanti da A e D se AD>2*sqrt(AB*DC) fig.(3).
Infatti nel terzo caso, indicati con x e y le misure di DP' e AP', con a e b quelle di AB
e DC, con h quella di AD: P'DC è simile a P'AB, essendo entrambi retti e DCP'=AP'B
perché complementari dello stesso angolo DP'C ( CP'B retto perché inscritto nella [in
una] semicirconferenza ), pertanto sussiste la seguente proporzione fra i lati
DC:P'A=DP':AB, da cui DC*AB=P'A*DP'. Da ciò il sistema simmetrico [x+y=h, x*y=a*b] che
avrà due soluzioni reali , distinte e simmetriche se qr(h)-4*a*b>0 , vale a dire
h>2*sqrt(a*b), due reali coincidenti se qr(h)-4*a*b=0, cioè h=2*sqrt(a*b), nessuna
soluzione reale se qr(h)-4*a*b<0, cioè h<2*sqrt(a*b).
Nel 2° caso si ha verifica facilmente l'ulteriore proprietà che CP e BP sono bisettrici
degli angoli PCB e PBC e quindi P equidistante da DC, CB,AB con PH=PD=PA (detto H il piede
della perpendicolare condotta da P su BC), CH=DC e BH=AB. Applicando il 2° teorema di
Euclide al triangolo rettangolo CPB si ha che: PH=AD/2=CH*HB=DC*AB e quindi h/2=sqrt(a*b),
vale a dire AD/2 medio proporzionale fra AB e DC. In 3° caso le bisettrici degli C e B
angoli si incontrano all'esterno del trapezio, nel primo all'interno del trapezio.
Soluzione proposta da:
Cristina Padulosi e Danilo Infantino
Classe 2A Liceo Scientifico "Francesco d'Assisi" Roma
a) Dopo aver disegnato un trapezio rettangolo soddisfacente le condizioni del problema abbiamo prolungato la base minore DC sino ad incontrare la circonferenza nel punto F. Sia dal punto C che dal punto F abbiamo tracciato le perpendicolari alla retta AB. Queste perpendicolari incontrano la retta AB nei rispettivi punti K e B (i triangoli CKB e CBF, con ipotenusa il diametro BC, sono rettangoli perciò inscritti in una semicirconferenza) e quindi il punto K, in particolare, è un punto comune alla circonferenza e ad AB. Per questo i quadrilateri AKCD e ABFD sono dei rettangoli perciò AK=DC e AB=DF (1). (fig. 1)
Applicando il teorema delle due secanti condotte da un punto esterno ad una circonferenza si hanno le due proporzioni: AB:AH=AP:AK (2) e DF:DP=DH:DC Per la (1) sostituendo nella seconda proporzione si ottiene AB:DP=DH:AK (3) Confrontando la (2) e la (3), poiché è uguale il prodotto degli estremi sarà uguale anche il prodotto dei medi cioè: AH*AP=DP*DH da cui si ottiene la proporzione: DP:AP=AH:DH. Sostituendo a DP la differenza AD-AP e ad AH la differenza AD-DH si ha: (AD-AP):AP=(AD-DH):DH e con la proprietà del comporre si ottiene AD:AP=AD:DH da cui segue AP=DH Questo risultato consente di sostituire nella (3) e ottenere la tesi cioè: AB:DP=AP:DC
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