Soluzioni marzo 1998

FLATlandia

2 - 16 Marzo 1998

Sono date due circonferenze, con raggi diversi, secanti in A e B. Vi chiediamo di:

a) costruire una retta t tangente ad entrambe le circonferenze;

b) detti T e T' i punti di tangenza, dimostrare che la retta AB interseca il segmento TT’ nel suo punto medio.

Si accettano anche le risposte alla sola prima parte.

Soluzioni

Abbiamo ricevuto sei risposte al quesito di marzo, provenienti da quattro scuole fra cui una sola media inferiore. Dobbiamo ammettere che il quesito era un po’ impegnativo, ma avevamo pensato che, con la collaborazione dell’insegnante di Matematica o di Educazione Tecnica, anche i ragazzi della scuola media inferiore potessero realizzare la costruzione richiesta nella prima parte del problema.
Tale costruzione ha invece rappresentato l’ostacolo maggiore anche per i ragazzi delle scuole superiori.
Ci auguriamo che la difficoltà incontrata non scoraggi la partecipazione alle future "sfide": in fondo attraverso le risposte che presentiamo si ha la possibilità di migliorare la propria conoscenza geometrica.

Fra le risposte pervenute, in quattro sono stati affrontati entrambi i quesiti proposti e in due solo il secondo.
Riportiamo qui di seguito le due risposte accolte: la prima per intero, anche se con qualche correzione; della seconda solo la prima parte in quanto presenta una costruzione più completa.

Franca Noe'
Consolato Pellegrino
Giuliana Bettini

Nota:
Nelle soluzioni abbiamo messo nelle parentesi quadre le correzioni al testo e nelle quadre sottolineate le parti di testo superflue

Le scuole che hanno partecipato sono:
Liceo scientifico "G. Ulivi" Parma
Liceo scientifico "P. Lioy" Vicenza
Liceo scientifico tecnologico "ITI A. Cesaris" Casalpusterlengo LO (tre risposte)
SM "L. Benati" di Roverbella, sezione staccata di Marmirolo MN

Ci dispiace per i ragazzi dell’ITG "Rondani" di Parma, che questa volta non hanno potuto partecipare perché impegnati da verifiche e in una gita scolastica.

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Stefano Pugnetti
Liceo Scientifico G. ULIVI, 2F
Parma

Date due circonferenze di centro O [la maggiore] e O' secanti in A e in B, si congiunga O con O' e si trovi il punto medio del segmento OO', M. Con centro in M e raggio OM si tracci una semicirconferenza tra O e O'; poi si calcoli [costruisca] la differenza tra i due raggi riportando su OO' a partire da O, per esempio, il raggio minore determinando il punto T''; sempre con centro in O e raggio T''O'', come in figura [O’’ è l’intersezione fra OO’ e la circonferenza di centro O], si traccia un arco che intersechi la semicirconferenza tracciata in P. Ora con O e P si determina una retta che incontra in T la circonferenza. Per O' si traccia la parallela ad OP e si trova sulla seconda circonferenza il punto T' [dalla stessa parte di T rispetto OO’]. Infine la retta TT' è la tangente cercata. Infatti, l'angolo OPO' è retto perché inscritto in una semicirconferenza, l'angolo TPO' è retto perché adiacente ad OPO', e l'angolo PO'T' è retto perché congruente all'angolo OPO' perché angoli alterni interni formati dalle rette OT e O'T' parallele per ipotesi tagliate da una trasversale (PO). Inoltre per costruzione, OP = OT - O'T', da cui O'T' = OT - OP, ma anche PT = OT - OP, quindi O'T' = PT; dunque il quadrilatero PO'T'T è un parallelogramma, perché ha due lati opposto paralleli e congruenti, ed ha due angoli retti, pertanto è un rettangolo. Gli angoli in T e in T' sono retti, quindi la retta TT' è perpendicolare sia al raggio di una circonferenza che a quello dell'altra, risultando tangente ad entrambe la circonferenza. ripetendo la costruzione con una semicirconferenza dalla parte opposta, si trova l'altra tangente possibile.

Per dimostrare che TM' = M'T', si consideri che M'B è secante ad entrambe le circonferenze, pertanto per il teorema della secante e della tangente, si avrà M’B:M'T' = M’T':M'A osservando una circonferenza, e M’B:TM' = TM':M'A osservando l'altra, da cui TM'=M'T'.

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Ludovico Cavedon - 2ª Es
Liceo Scientifico "P. Lioy"
Vicenza

Indico con:
c1 = circonferenza con raggio minore
c2 = circonferenza con raggio maggiore
O = centro di c1
Q = centro di c2
C = il punto di intersezione tra c1 ed il raggio di c1 perpendicolare a OQ
D = il punto di intersezione tra c2 ed il raggio di c2 perpendicolare a OQ
dalla stessa parte di C rispetto a OQ

1) Prendere un punto E su DQ tale che CO = DE. Tracciare la circonferenza c3 di centro Q e raggio QE. Con centro punto medio M di OQ tracciare una circonferenza c4 di raggio MQ, che interseca c3 in F. La retta per O e F risulta tangente a c3 e quindi [in quanto] perpendicolare a QF (avendo costruito un triangolo rettangolo OQF[: la mediana è congruente a metà ipotenusa]). Da O tracciare una retta r parallela a QF. La retta per Q e F interseca c2 in T. FT risulta, per costruzione, congruente a DE. Da T tracciare la retta s parallela a OF, perpendicolare, quindi, a QT e tangente a c2, e che interseca la retta r in T’. Prendendo in esame il rettangolo T’OFT (perché i lati sono paralleli per costruzione) si ha:
T’O=TF ; TF=DE ; DE=CO ; T’O=CO, quindi T’O è raggio di c1, T’ appartiene a c1 ed è anche punto di tangenza perché T’T è perpendicolare a T’O.