Soluzioni gennaio 1998

FLATlandia

12 - 26 Gennaio 1998

Dato un trapezio isoscele ABCD, tracciamo le diagonali AC e BD indicando con O il loro punto di intersezione.

a) Confrontiamo i triangoli AOD, BOC e le loro superfici; come sono?

b) Modifichiamo ora il quadrilatero in modo che diventi un trapezio scaleno e confrontiamo di nuovo i triangoli AOD e BOC: c'è qualcosa che si conserva rispetto alla figura precedente?

Motiva le tue risposte.

Soluzioni

Sono state inviate quattordici risposte provenienti da dieci scuole, di cui tre sono scuole medie inferiori: una risposta non è accettabile e due sono incomplete; le rimanenti soluzioni proposte sono state accettate anche se presentano improprietà di linguaggio (ad esempio i termini "uguale", "equivalente", "equiesteso" vengono confusi tra loro così come "area" e "superficie") e/o carenze nella giustificazione e/o imprecisioni di procedimento (ad esempio si considera l’ipotesi, non richiesta, che le basi del secondo trapezio restino congruenti alle corrispondenti basi del trapezio isoscele).

L’assenza di una figura allegata al testo del problema proposto ha portato di fatto a due possibili interpretazioni a seconda della disposizione delle lettere: in una di queste i segmenti AD e BC sono le basi del trapezio, nell’altra sono i lati obliqui. Tra le risposte pervenute solo due hanno considerato entrambe le interpretazioni.

Sul primo quesito proposto sono pervenute due tipi di dimostrazione: una basata sulla geometria euclidea, l’altra sulle proprietà della simmetria assiale.

Sono pervenute risposte dalle seguenti scuole:
Liceo Scientifico M.Fanti Carpi (MO)
Liceo Scientifico P. Lioy Vicenza
ITIS A. Cesaris Casal Pusterlengo (LO)
Liceo Scientifico Francesco d’Assisi Roma
ITG Rondani Parma
IT Agrario G. Garibaldi Cesena (FO)
ITI E. Fermi Mantova
Scuola Media Salvo D’Acquisto Bologna
Scuola media E. Panzacchi Ozzano Emilia (BO)
Scuola Media L. Benati Roverbella s.s. Marmirolo (MN)

Presentiamo alcune delle soluzioni pervenute:

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Alberto Cornia
Classe 2B Liceo scientifico "M. Fanti" - Carpi (MO)

Il testo si può interpretare in due diversi modi: le basi sono AB e CD, oppure esse sono AD e BC.

1° CASO
Qualunque sia il tipo di trapezio, i due triangoli sono equivalenti. Infatti, i due triangoli ABD e ABC sono sempre equivalenti perché hanno la stessa base (AB) e la stessa altezza. Sottraendo da ognuno dei due lo stesso triangolo AOB, si ottengono rispettivamente i triangoli AOD e BOC, che quindi sono equivalenti.

Nel caso particolare in cui il trapezio sia isoscele, BOC e AOD sono uguali, perché hanno:
BC = AD per ipotesi;
gli angoli BOC e DOA uguali perché opposti al vertice;
gli angoli BCO e ADO uguali perché appartenenti ai due triangoli uguali ABC e ABD (sono uguali perché hanno AB in comune, DA = BC per ipotesi, angolo DAB = angolo CBA perché angoli alla base di un trapezio isoscele).

2° CASO
Qualunque sia il tipo di trapezio, i due triangoli sono simili, perché hanno:
angolo BOC = angolo AOD perché opposti al vertice;
angolo CBO = angolo ADO perché alterni interni rispetto alla trasversale BD;
angolo BCO = angolo OAD perché alterni interni rispetto alla trasversale AC.
Essendo i triangoli simili, le loro aree sono in proporzione al quadrato delle basi.

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Ludovico Cavedon
2ª E Liceo Scientifico "P. Lioy" - Vicenza

Il problema presenta due soluzioni, a seconda di come sono disposte le lettere ai vertici del trapezio.

AB è una base:
a) Poiché ogni triangolo [trapezio] isoscele è dotato di un asse di simmetria (l’asse delle basi), O appartiene a tale asse. Di conseguenza, per simmetria assiale, OD è congruente ad OC, AD a BC, l’angolo ADO a BCO; quindi i triangoli ADO e BCO sono congruenti e perciò equiestesi.

b) Si può dimostrare che i triangoli ADO e BCO sono equiestesi in qualunque trapezio, anche scaleno. I triangoli ABD e ABC sono equiestesi avendo la stessa base AB e la stessa altezza (quella del trapezio). Poiché le aree AOD = ABD-AOB e BOC = ABC-AOB, allora AOD è equiesteso a BOC, perché differenze di stesse superfici [superfici equiestese].

AB è un lato obliquo:
a) I triangoli AOD e BOC sono simili perché: gli angoli ADB e DBC sono congruenti (alterni interni in due rette parallele BC e AD tagliate da trasversale BD), gli angoli CAD e ACB (per lo stesso motivo), gli angoli BOC e AOD (perché opposti al vertice).
Poiché i due triangoli isosceli sono simili, il rapporto tra la base e l’altezza relativa è costante; perciò è anche costante il rapporto tra le due altezze e le due basi. Quindi (indicando con A1 e A2 le aree, h1 e h2 le altezze, b1 e b2 la basi):
A1 = b1 * h1 / 2 ; A2 = b2 * h2 / 2
A1/A2 = (b1 * h1 / 2)*(2 / b2 * h2) ; A1/A2 = b1/b2 * h1/h2 ; A1/A2=(b1/b2)^2
b) In un triangolo [trapezio] scaleno la situazione rimane immutata (eccetto i due triangoli AOD e BOC che non sono più isosceli).

Nota:
Le correzioni al testo sono indicate fra parentesi quadrate.

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Paola Mussida
2° Liceo Scientifico Tecnologico
ITIS "A. Cesaris"
Casalpusterlengo (LO)

Nota:
Nelle figure allegate AB e CD sono rispettivamente base minore e base maggiore

Considero i due triangoli ACD e BCD.
Essi sono congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli, in quanto hanno:
- la base CD in comune
- i lati AD e BC congruenti per ipotesi (lati di un trapezio isoscele)
- l’angolo ADC congruente all’angolo BCD.

In particolare hanno l’angolo CAD congruente all’angolo DBC.

Considero ora i due triangoli AOD e BOC.
Per il secondo criterio generalizzato dei triangoli, anch’essi sono congruenti, in quanto hanno:
- i lati AD e BC congruenti (sempre per ipotesi)
- l’angolo AOD congruente all’angolo BOC, perché opposti al vertice
- l’angolo CAD congruente all’angolo DBC (per dimostrazione precedente.

Considero ancora i due triangoli ACD e BCD.
Essi sono equiscomponibili, in quanto hanno la stessa base (DC) e la stessa altezza (distanza fra due rette parallele).
Quindi, i due triangoli AOD e BOC sono equiscomponibili, perché sono ottenuti da differenze di poligoni equiscomponibili ( I due triangoli ACD e BCD, hanno in comune il triangolo DOC).

Modifico ora il quadrilatero, "accorciando" la base minore AB.
Confrono ancora i due triangoli ACD e BCD.
Essi sono ancora equiscomponibili, in quanto hanno la stessa base DC e la stessa altezza.
Anche i due triangoli AOD e BOC sono rimasti equiscomponibili, perché sono ottenuti da differenze di poligoni equiscomponibili.
Modificando il trapezio, le superfici dei due triangoli AOD e BOC, sono perció rimaste equivalenti.

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Lucarelli, Valentini, Maccari, Montano
Liceo Scientifico Francesco d’Assisi
Roma

Nel trapezio isoscele ABCD, i triangoli AOD e COB sono uguali: il punto O di intersezione trale diagonali AC e BD, infatti, è posto su l'asse di simmetria del trapezio. Rispetto a questa siammetria assiale, dunque, il lato AD si trasforma in BC, e i segmenti sulle diagonali DO e AO si trasformano rispettivamente in CO e BO.

Gli angoli in O dei due triangoli, inoltre, essendo opposti al vertice, sono uguali.
Se modifichiamo il trapezio, notiamo che la forma dei due triangoli esaminati cambia, ma non la loro superficie, che resta uguale: lo possiamo dimostrare osservando che i triangoli esaminati sonoi uguali ai [si ottengonodai] triangoli ABD e ABC cui si sottragga il triangolo AOB. Inoltre ABD e ABC sono equivalenti poiche’ hanno stessa base AB e stessa altezza, la distanza da DC.

Un'ultima osservazione, stavolta riguardo ai triangoli DOC e AOB, è che questi sono sempre simili, poichè i loro angoli in O, indipendentemente dal tipo di trapezio, sono opposti al vertice, mentre i rimanenti sono a due a due uguali per le proprietà delle [rette] parallele attraversate da una trasversale.

Nota:
Le correzioni al testo sono indicate fra parentesi quadrate.

Desideriamo presentare, anche se in modo parziale, due risposte pervenute pervenute dalla scuola media inferiore.

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Classe 2C
Scuola Media Salvo D’Acquisto
Bologna

Nota:
Nella figura allegata AB e CD sono rispettivamente base maggiore e base minore.

Osservo i 2 triangoli ABD e BAC, essi hanno:
AB in comune;
BC= AD per ipotesi;
AC= BD per ipotesi;
sono quindi congruenti per il terzo criterio e avranno in particolare:
l'angolo ABD = all'angolo BAC;
l'angolo ACB = all'angolo ADB.
Considero ora i 2 triangoli DOA e BOC, essi hanno:
AD= BC per ipotesi;
l'angolo OBC= all'angolo OAD per differenza di angoli uguali;
l'angolo ADO= all'angolo BCO per precedente dimostrazione.
Quindi i 2 triangoli sono fra loro congruenti per il secondo criterio di uguaglianza come volevasi dimostrare.
Se il trapezio viene modificato in scaleno avremo che gli angoli COB e DOA rimangono congruenti.

Nota:
Manca la risposta relativa alle superfici.

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Massimo Sgarzi
Classe 3D
Scuola Media Statale "Enrico Panzacchi"
Ozzano dell'Emilia (BO)

Nota:
Nelle figure allegate AB e CD sono rispettivamente base maggiore e base minore. Presentiamo la seconda parte della risposta.

B) Trapezio scaleno

I triangoli ABC e ABD sono equivalenti perché hanno la base comune AB e la medesima altezza rispetto ad AB;
Per differenza si ottengono i triangoli AOD e BOC che risultano ancora equivalenti indipendentemente dal tipo di trapezio considerato.
ABC - AOB = BOC
ABD - AOB = AOD