Soluzioni febbraio 1998

FLATlandia

2 - 16 Febbraio 1998

Il seguente problema è stato proposto in una gara matematica ed è seguito da cinque risposte indicate con le lettere A, B, C, D, E. Una sola di queste risposte è corretta.

Nel triangolo ABC, il lato AB è lungo 1cm e l’angolo ACB misura 120°. Sul lato AB si costruisce un triangolo equilatero ABD avente il vertice D dalla parte opposta di C rispetto alla retta AB.
Detto G il baricentro del triangolo equilatero, dire quanto misura il segmento CG.

(A) radice quadrata di 3, in cm
(B) radice quadrata di 1/3, in cm
(C) radice quadrata di 2, in cm
(D) radice quadrata di 1/2, in cm
(E) i dati del problema sono insufficienti.

Motivate la risposta.
Consigliamo di usare nel Cabri-disegno un segmento AB di lunghezza arbitraria.

Soluzioni

Questo mese abbiamo ricevuto dodici risposte provenienti da dieci scuole di cui tre sono scuole medie inferiori.
In due risposte, inviate da alunni di scuola media inferiore, si risolve il problema solo nel caso particolare in cui il triangolo ABC è isoscele: in una non si considera il caso generale, mentre nell'altra lo si ritiene erroneamente senza soluzione.
La soluzione del problema si basava sulla invarianza del segmento CG al variare del punto C su un arco di circonferenza.
Le rimanenti soluzioni inviate sono state accettate anche se alcune non sono sufficientemente motivate e/o presentano, come al solito, imprecisioni, carenze, errori di battitura.
In quasi tutte le risposte la chiave di volta per la soluzione del problema proposto è stata la condizione di inscrivibilità di un quadrilatero in una circonferenza; il calcolo della lunghezza del segmento CG è stato fatto ricorrendo alle note formule del triangolo equilatero tranne in un caso in cui si è utilizzata la trigonometria.
Le espressioni algebriche che accompagnano le risposte sono talvolta ambigue: noi le abbiamo accettate ugualmente in considerazione del fatto che è difficile, ma non impossibile, scriverle correttamente con un editor che non consente di rappresentare frazioni e radici. In futuro curate quindi anche questo aspetto.

Franca Noe'
Consolato Pellegrino
Giuliana Bettini

Sono pervenute risposte dalle seguenti scuole:
Scuola Media "L. Benati" di Roverbella, sede staccata di Marmirolo (MN)
Scuola Media "E. Panzacchi" Ozzano dell'Emilia, Bologna
Scuola Media "Testoni-Fioravanti", Bologna
ITA "G. Garibaldi", Cesena (FO)
ITG "G. Rondani", Parma
Liceo Scientifico-Tecnologico "Cesaris", Casalpusterlengo (LO)
Liceo Scientifico "M. Fanti", Carpi (MO)
Liceo Scientifico "P. Lioy", Vicenza
Liceo Scientifico "Majorana", Torino
Liceo Scientifico "Ulivi", Parma

E' giunta in ritardo una risposta da una alunna della Scuola Media "Il Guercino" di Bologna, non presa in considerazione anche perché contenente un virus!

Presentiamo alcune delle soluzioni pervenute:

Giovanni Cunberti - classe IIE
Roberto Di Benedetto - classe IIB
Liceo Scientifico Majorana - Torino

La risposta corretta è la (B): radice quadrata di 1/3, in cm.
Il quadrilatero ADBC è inscrivibile in una circonferenza, perché i suoi angoli opposti sono supplementari (in quanto l'angolo ACB=120° per ipotesi e ADB=60° perché angolo interno di un triangolo equilatero, e di conseguenza anche ABD+CAD=360° - ACB-ADB=180°).
Essendo G il baricentro del triangolo equilatero ABD, ne è anche il circocentro e siccome per tre punti passa un unica circonferenza, è anche centro della circonferenza che circoscrive il quadrilatero ADBC.
Quindi CG è raggio di tale circonferenza, ma essendo il lato di un triangolo equilatero uguale a radice quadrata di tre per il raggio della circonferenza circoscritta, segue che AB=SQRT(3)*CG, da cui CG=SQRT(1/3)*AB, ed essendo AB=1cm si ha CG=SQRT(1/3)cm.

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Stefano Pugnetti
Liceo Scientifico "G. Ulivi" di Parma

Ecco la mia risposta:
Se si considera il triangolo ABC isoscele su base AB, il problema è facilmente risolvibile, perché tale triangolo sarebbe congruente a, per esempio, AGB, cioè a "un terzo" del triangolo equilatero BAD, quindi il vertice C apparterrebbe all'asse di AB, come G; CG risulterebbe uguale alla somma di CM più MG dove M è il punto medio di AB, dove sia GM sia MC sarebbero un terzo dell'altezza del triangolo equilatero: guarda nella seconda immagine che ho mandato.
Negli altri casi sarebbe impossibile risolvere se non fosse che la distanza CG e' costante: infatti, se si considera la circonferenza circoscritta al triangolo equilatero, l'angolo alla circonferenza che insiste sull'arco ADB è congruente a [Ndr: "è congruente a" va sostituito con " misura"] 120° perché tale arco e' 2/3 della circonferenza per tanto dato AB fisso, tutti i triangoli possibili con angolo di 120° e con lato opposto congruente ad AB saranno tali da avere circonferenza circoscritta con centro in G e con raggio GA, quindi anche il triangolo ABC in questione. Pertanto la distanza CG è fissa e uguale a radice di un terzo (soluzione B).

[Ndr: la giustificazione di questa affermazione ed il relativo calcolo sono riportate in un file immagine inviato a parte]

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Classe 3D
Scuola Media "L. Benati" di Roverbella
Sede Staccata di Marmirolo (Mantova)

Secondo noi, la risposta esatta è la B. Il quadrilatero ADBC è inscrittibile nella circonferenza di centro G e di raggio GA, in quanto gli angoli opposti sono supplementari. Il segmento CG non varia perché è raggio della circonferenza pertanto è congruente a DG. DG e' i 2\3 dell'altezza del triangolo equilatero, perché il baricentro divide la mediana in due parti tali che una è il doppio dell'altra (nel triangolo equilatero altezze, bisettrici, mediane, e assi coincidono in un unico segmento e i punti notevoli coincidono in un unico punto detto centro del triangolo equilatero). Siccome il triangolo DBH è di 30° - 60° - 90°, DH è uguale a BH per radice quadrata di tre, cioè 1\2*radq3.
Allora DG che è congruente a CG misurerà 1\2*radq3*2\3 cioè radq1\3.

Ndr
[1\2*radq3] va sostituito con: 1\2*radq(3)
[1\2*radq3*2\3 cioè radq1\3] va sostituito con: 1\2*(radq(3))* 2\3 cioè radq(1\3)