Bellaria 21 Settembre 2000

Problema n.14

Un paravento, costituito da due pannelli rettangolari identici con base di lunghezza l, viene spiegato verticalmente attorno ad un angolo retto di un locale in modo che l'ambiente separato delimitato dal paravento e dalle due pareti sia di area massima.
Guardando la situazione "dall'alto" si vedrà ad esempio il quadrilatero OAPB seguente:

\(g1 = 
      Graphics[{Line[{{0, 0}, {5, 0}}], 
          Line[{{0, 0}, {0, \(-5\)}}], {PointSize[0.02], 
            Point[{2, \(-0.01\)}], Point[{0.01, \(-3\)}], 
            Point[{4, \(-2\)/3*4 - 5/6}]}, {Thickness[0.013], 
            Line[{{2, 0}, {4, \(-2\)/3*4 - 5/6}}]}, {Thickness[0.013], 
            Line[{{0, \(-3\)}, {4, \(-2\)/3*4 - 5/6}}]}, {
            Dashing[{0.015, 0.015}], Line[{{2, 0}, {0, \(-3\)}}]}, 
          Text["O", {\(-0.2\), 0.1}], Text["A", {2, 0.1}], 
          Text["B", {\(-0.2\), \(-3\)}], 
          Text["P", {4.2, \(-2\)/3*4 - 5/6}], 
          Text["l", {3, \(-1.5\)}], Text["l", {2, \(-3.6\)}], 
          Text["d", {1, \(-1.3\)}]}]; 
		
    Show[g1, PlotRange -> {{\(-0.5\), 5}, {\(-5\), 0.5}}, AspectRatio -> 1]
      \)

a) Indichiamo con d la distanza tra A e B. Che valore massimo può avere d?
b) Fissata una certa distanza d tra A e B, dimostra che l'area del quadrilatero OAPB è massima se |OA|=|OB|. (Consiglio: poichè in questo caso l'area del triangolo APB è costante, l'area del quadrilatero dipende unicamente dall'area del triangolo rettangolo OAB).
c) Sia dunque |OA|=|OB|.

\(g2 = 
      Graphics[{Line[{{0, 0}, {5, 0}}], 
          Line[{{0, 0}, {0, \(-5\)}}], {PointSize[0.02], 
            Point[{2, \(-0.01\)}], Point[{0.01, \(-2\)}], 
            Point[{\((4 + Sqrt[114])\)/4, \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}]}, {
            Thickness[0.013], 
            Line[{{2, 0}, {\((4 + Sqrt[114])\)/4, 
                  \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}}]}, {Thickness[0.013], 
            Line[{{0, \(-2\)}, {\((4 + Sqrt[114])\)/4, 
                  \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}}]}, 
          Text["O", {\(-0.2\), 0.1}], Text["A", {2, 0.1}], 
          Text["B", {\(-0.2\), \(-2\)}], 
          Text["P", {\((4 + Sqrt[114])\)/4 + 0.2, 
              \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}], Text["l", {3, \(-1.5\)}], 
          Text["l", {2, \(-3.3\)}], 
          Circle[{2, 0}, 0.5, {\(-π\), \(-π\)/3 - 0.2}], 
          Text["α", {1.9, \(-0.2\)}]}]; 
		
    Show[g2, PlotRange -> {{\(-0.5\), 5}, {\(-5\), 0.5}}, AspectRatio -> 1]
      \)

Determina, in funzione di l, la misura del segmento OA in modo che l'area del quadrilatero OAPB sia massima.
(Consiglio: sfrutta la congruenza dei due triangoli OAP e OPB e usa come variabile l'ampiezza α dell'angolo OAP).

Soluzione:

Inizializziamo tutte le incognite:

Clear["Global`*"];
OA := x;
AP := l;
BP := l;
AB := d;

Parte a):

Alla domanda circa la lunghezza di d, la risposta sarà che 0≤d≤2l  poichè d è la base di un triangolo isoscele di lati obliqui lunghi l.
Si tenga sempre presente l'ipotesi che l'area di OAPB deve essere massima ∀d∈[0,2l]. Ciò porta inesorabilmente ad ammettere che sia sempre OA=OB. Allora OP e AB saranno ortogonali e l'area del quadrilatero, in funzione di d, sarà:

area[d_] := (d/2) ((d/2) + (Sqrt[(l^2) - ((d^2)/4)]))

zeri := Flatten[d /. Solve[D[area[d], d] == 0, d]]

d2[d_] := D[area[d], {d, 2}]; d2[d]

N[d2[zeri[[2]]]]

La derivata seconda risulta positiva per d=l(Sqrt[2 + (Sqrt[2])]) quindi tale valore è un massimo per l'area. Il seguente grafico conferma visivamente quanto detto. (Si è posto l=1)

l := 1; Plot[area[d], {d, 0, 2}]

Parte b):

Seguendo il suggerimento sarà sufficiente trovare l'area massima del triangolo OAB. Posto OA=x:

\(OB := Sqrt[AB^2 - OA^2]; 
SOAB = OA*OB/2\)

La funzione ottenuta ha per Df=[-d,d], ma per le limitazioni che derivano dalla situazione geometrica si ha: Df=[0,d]. Limitatamente a tale dominio dobbiamo determinare il massimo assoluto della funzione area. A tale scopo troviamo la derivata prima della funzione:

DSOAB = Simplify[D[SOAB, x]]

Il Df'=Df-{d}, per cui x=d potrebbe essere un punto di non derivabilità per f. Per analizzare il comportamento di f' in x=d calcoliamo il seguente limite:

Limit[DSOAB, x -> d, Direction -> -1]

Dal risultato ottenuto deduciamo che in x=d la funzione ha tangente verticale. Determiniamo, ora, gli zeri della derivata:

sol = Solve[DSOAB == 0, x]

Dato il Df l'unico valore accettabile è quello positivo cioè x=(d/√)2   Per determinare se tale valore è di massimo lo soostituiamo nella derivata seconda:

Simplify[D[DSOAB, x] /. Flatten[sol][[2]]]

Poichè la derivata seconda risulta negativa in x=(d/√)2 tale punto è di massimo ed essendo l'unico esso è anche il massimo assoluto.
Ma se x, cioè OA=(d/√)2 , allora

Evaluate[OB /. Flatten[sol][[2]]]

e pertanto l'area massima si ha quando OA=OB c.v.d.

Parte c)

Tracciamo i segmenti OP ed AB ed indichiamo con H il loro punto comune:

\(g3 = 
      Graphics[{Line[{{0, 0}, {5, 0}}], 
          Line[{{0, 0}, {0, \(-5\)}}], {PointSize[0.02], 
            Point[{2, \(-0.01\)}], Point[{0.01, \(-2\)}], 
            Point[{\((4 + Sqrt[114])\)/4, \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}]}, {
            Thickness[0.013], 
            Line[{{2, 0}, {\((4 + Sqrt[114])\)/4, 
                  \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}}]}, {Thickness[0.013], 
            Line[{{0, \(-2\)}, {\((4 + Sqrt[114])\)/4, 
                  \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}}]}, 
          Text["O", {\(-0.2\), 0.1}], Text["A", {2, 0.1}], 
          Text["B", {\(-0.2\), \(-2\)}], 
          Text["P", {\((4 + Sqrt[114])\)/4 + 0.2, 
              \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}], Text["l", {3, \(-1.5\)}], 
          Text["l", {2, \(-3.3\)}], Line[{{0, \(-2\)}, {2, 0}}], 
          Line[{{0, 0}, {\((4 + Sqrt[114])\)/4, 
                \(-\((4 + Sqrt[114])\)\)/4}}], Text["H", {1, \(-1.2\)}], 
          Circle[{2, 0}, 0.5, {\(-π\), \(-π\)/3 - 0.2}], 
          Text["α", {1.9, \(-0.2\)}], 
          Circle[{2, 0}, 0.6, {\(-π\), \(-\((3*π)\)\)/4}], 
          Text[\*""\!\(π\/4\)"", {1.2, \(-0.3\)}]}]; 
    Show[g3, PlotRange -> {{\(-0.5\), 5}, {\(-5\), 0.5}}, AspectRatio -> 1]
      \)

Dopo aver verificato che 0<α<(π/2);   dall'applicazione dei teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli segue:

\(AH = AP*Cos[α - π/4]; 
AB = 2*AH\)

Essendo OAB un triangolo rettangolo isoscele:

OA = AB/Sqrt[2]

Tenendo conto del suggerimento possiamo calcolare l'area di OAPB moltiplicando per 2 l'area di OAP ottenuta applicando un noto teorema di trigonometria:

\(SOAP = OA*AP*Sin[α]/2; 
SOAPB = 2*SOAP\)

Ora, non resta altro che studiare tale funzione per determinarne il massimo assoluto:

DSOAPB = Simplify[D[SOAPB, α]]

sol = Solve[DSOAPB == 0, α]

la prima delle due soluzioni va ovviamente scartata, per cui:

D2SOAPB = Simplify[D[DSOAPB, α]]

D2SOAPB /. Flatten[sol][[2]]

Essendo quest'ultimo valore di segno negativo, α=(3/8) π è massimo relativo, ma anche assoluto. Ma allora, per rispondere al quesito proposto:

OA /. Flatten[sol][[2]]

Per la formula di bisezione:

OA = Sqrt[2]*l*Sqrt[(1 + Cos[Pi/4])/2]

Osservazioni conclusive:

Sebbene con il risultato precedente si sia completamente risolto il quesito proposto, mi pare interessante riprendere il problema come spunto per l'introduzione di alcune questioni introduttive all'uso e alle caratteristiche delle funzioni di due variabili.
A questo scopo consideriamo la figura seguente come rappresentativa di un caso più generale rispetto a quelli trattati nel quesito:

\(g4 = 
      Graphics[{Line[{{0, 0}, {5, 0}}], 
          Line[{{0, 0}, {0, \(-5\)}}], {PointSize[0.02], 
            Point[{2, \(-0.01\)}], Point[{0.01, \(-3\)}], 
            Point[{4, \(-2\)/3*4 - 5/6}]}, {Thickness[0.013], 
            Line[{{2, 0}, {4, \(-2\)/3*4 - 5/6}}]}, {
            Line[{{0, \(-3\)}, {4, \(-2\)/3*4 - 5/6}}], 
            Line[{{2, 0}, {0, \(-3\)}}]}, 
          Line[{{0, 0}, {4, \(-2\)/3*4 - 5/6}}], 
          Text["O", {\(-0.2\), 0.1}], Text["A", {2, 0.1}], 
          Text["B", {\(-0.2\), \(-3\)}], 
          Text["P", {4.2, \(-2\)/3*4 - 5/6}], 
          Text["l", {3, \(-1.5\)}], Text["l", {2, \(-3.6\)}], 
          Text["d", {1, \(-1.3\)}], 
          Circle[{2, 0}, 0.5, {\(-π\), \(-0.998\)}], 
          Text["α", {1.85, \(-0.3\)}], 
          Circle[{2, 0}, 0.6, {\(-π\)/2 - 0.588, \(-0.998\)}], 
          Text["β", {2.1, \(-0.8\)}]}]; 
		
    Show[g4, PlotRange -> {{\(-0.5\), 5}, {\(-5\), 0.5}}, AspectRatio -> 1]
      \)

Clear["Global`*"];
OA := x;
AP := l;
BP := l;
AB := d;
PAO := α;
PAB := β;

Essendo APB isoscele e OAB rettangolo segue che:

\(AB1 = 2*AP*Cos[PAB]; 
AB2 = OA/Cos[PAO - PAB]\)

AB1 e AB2 indicano due espressioni diverse per lo stesso segmento AB. Uguagliando si ricava:

sol = Solve[AB1 == AB2, x]

OA = OA /. Flatten[sol]

Pertanto l'area del quadrilatero sarà:

\(SOAB = 1/2*OA*AB1*Sin[α - β]; 

    SABP = 1/2*AP^2*Sin[π - 2*β]; 
SOAPB = SOAB + SABP\)

La funzione così ottenuta dipende da due variabili α e β  ('0<β<(π/2); 0<α<π)
Proviamo a tracciarne il grafico, dopo aver sostituito ad l->1, su una terna cartesiana:

SOAPB /. {α -> x, β -> y, l -> 1}

\(g5 = 
      ParametricPlot3D[{{t, 0, 0}, {0, t, 0}, {0, 0, t}}, {t, \(-5\), 5}, 
        ViewPoint -> {\(-2.250\), \ \(-4.000\), \ 1.580}, 
        AxesLabel -> {"x", "y", "z"}, 
        DisplayFunction -> Identity]; 

    g6 = Plot3D[
        SOAPB /. {α -> x, β -> y, l -> 1}, {x, 0, π}, {y, 0, 
          Pi/2}, ViewPoint -> {\(-2.250\), \ \(-4.000\), \ 1.580}, 
        DisplayFunction -> Identity]\)

Show[g5, g6, ViewPoint -> {-2.250,  -4.000,  1.580}, 
      DisplayFunction -> $DisplayFunction, AspectRatio -> 1, 
      PlotRange -> {{0, 3.5}, {-1, 2}, {-1, 1.5}}]

Dall'esame del grafico appare evidente che per una determinata coppia (α,β) la funzione assumerà il valore massimo assoluto; ma come determinare tale coppia?

archi = 
      Solve[D[SOAPB, α] == 0  &&  D[SOAPB, β] == 0 , {
          α, β}]

alpha = {ArcCos[((Sqrt[2 - (Sqrt[2])])/2)], ArcCos[((Sqrt[2 + (Sqrt[2])])/2)]}

beta = {ArcCos[((Sqrt[2 - (Sqrt[2])])/2)], ArcCos[((Sqrt[2 + (Sqrt[2])])/2)]}

\(\(D[SOAPB, {α, 2}]
\)\)

D[SOAPB, {β, 2}]

D[SOAPB, {α, β}]

D[SOAPB, {β, α}]