L'architetto Guarino Guarini ed una dimostrazione del teorema delle corde in 3D

• Biografia
• Euclides Adauctus
• Struttura e contenuti dell'opera
• Sezioni coniche e teorema delle corde
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Biografia

Guarino Guarini à considerato da alcuni studiosi un intellettuale poliedrico: egli stesso si defininiva teologo, filosofo, matematico oltre che architetto e pare che proprio la matematica lo abbia introdotto all'architettura.

Euclides Adauctus

L'opera enciclopedica intitolata Euclides adauctus et methodicus mathematicaque universalis à considerata il lavoro più importante di Guarini nell'ambito della matematica. Tale scritto, dedicato a Carlo Emanuele II duca di Savoia e pubblicato a Torino nel 1671, à una sorta di summa di carattere didattico di oltre settecento pagine. Lo scopo dell'opera era quello di far conoscere i risultati raggiunti nella geometria classica, come nelle opere di Euclide, Archimede, Apollonio e Pappo, ad esempio, in relazione alle curve e ai solidi di rotazione, ma anche a temi più moderni come gli indivisibili e i logaritmi. Le sue opere erano destinate a un pubblico di lettori colto ed esigente, ma nessuno specializzato in dimostrazioni matematiche sottili e complesse. Il suo pubblico comprendeva intellettuali e professionisti desiderosi di comprendere i fondamenti della geometria e aritmetica per applicarli, ad esempio, in campi come l'architettura, geodesia, architettura militare, gnomonica e astronomia.

Guarini sottolineò con orgoglio di aver evitato lo svantaggio di diffondere nozioni su molti volumi costosi e di aver raccolto i concetti e le proprietà in modo ordinato e in successione in un'unica opera, soprattutto per "chi non à in grado di tradurre le conoscenze più difficili nella propria lingua". Egli evidenziò la difficoltà che il lettore ordinario, ossia un matematico non professionista, affronterebbe se leggesse direttamente le opere di Apollonio di Perga, Archimede e Pappo.
"Nonostante ciò il suo stile à pesante ed involuto. Esso à dovuto essenzialmente alla totale mancanza del calcolo letterale e del linguaggio algebrico." (F. G. Tricomi Guarini matematico in Guarino Guarini e l'internazionalità del Barocco).

"In Euclides Adauctus Guarini rivela le sue eccellenti doti di insegnante, dichiarando lui stesso che imparò il modo di spiegare la matematica da Euclide e Proclo. Lo stile dell'opera infatti mostra una notevole sensibilità per la didattica, originalità e profondità nelle spiegazioni." (Clara Silvia Roero, Guarino Guarini and Universal Mathematics.)

Struttura e contenuti dell'opera

Gli argomenti affrontati sono suddivisi in trentacinque libri o trattati (tractatus), che a loro volta sono suddivisi in capitoli (expensio), i quali includono definizioni, teoremi, proposizioni, corollari, commenti, problemi, costruzioni geometriche, indicazioni esplicite e puntuali sulle fonti, e occasionalmente anche assunzioni (praeassumptum) e conclusioni (conclusio). Inoltre fa spesso uso di grafici per aiutare a visualizzare meglio gli elementi presi in esame. Ogni trattato si apre con una prefazione in cui Guarini menziona i possibili usi pratici di quel particolare argomento per ingegneri, artigiani, costruttori di strumenti, architetti militari, geodetici e musicisti. Il modo in cui Guarini espone i concetti à più vicino a quello degli Elementi di Euclide rispetto a quello che si trova nei testi di Archimede e Apollonio, i quali erano rivolti a lettori altamente esperti. Circa metà dell'opera à dedicata ad argomenti puramente geometrici, tra cui un'analisi dei tredici libri di Euclide: à significativo osservare come Guarini, in un secolo in cui il ruolo dell'Algebra diventa sempre più rilevante, consideri la Geometria superiore rispetto agli altri rami della matematica. Il resto dell'Euclides Adauctus, tradotto come "Euclide Accresciuto", riguarda il calcolo dei logaritmi, sviluppato proprio all'inizio del Seicento da Briggs e Nepero, la trigonometria piana e sferica, astronomia e si chiude con una serie di tavole numeriche.

Nella seguente tabella sono riportati gli argomenti affrontati in alcuni trattati.

Sezioni coniche e teorema delle corde

Il tema delle sezioni coniche viene principalmente affrontato nel trattato XXIV, nel quale Guarini segue la teoria classica di Apollonio, con definizioni, teoremi, proprietà delle tangenti, asintoti, e i famosi risultati di Archimede riguardanti la parabola e i solidi di rotazione e quelli di Gregorio De Saint Vincent in Opus geometricum quadraturae circuli et sectionum coni, pubblicato nel 1647.

In questo trattato Guarini sostiene di voler analizzare la parabola, l'ellisse e l'iperbole come aveva fatto il suo predecessore Apollonio di Perga, ossia in modo separato; tuttavia enuncia di aver approfondito e trattato in modo più avanzato la tematica.

Il trattato XXIV dell'opera Euclides Adauctus à composto da ventuno capitoli, il primo dei quali si intitola "I principi" (De principiis), e si articola in quindici definizioni riguardanti il vertice di un cono, l'asse del cono, la parabola, l'ellisse e l'iperbole. Nei restanti capitoli Guarini approfondisce lo studio delle coniche enunciando teoremi e fornendo dimostrazioni avvalendosi anche di costruzioni. Apollonio, come i suoi predecessori, derivò le sue curve da un cono situato in uno spazio tridimensionale, ma si sbarazzò del cono non appena gli fu possibile, al contrario Guarini continuò ad utilizzare il cono per dimostrare alcuni importanti risultati. Il testo presenta alcuni errori nella numerazione dei capitoli, inoltre c'à una discordanza tra i termini utilizzati nell'indice del trattato all'inizio dell'opera e in quello all'interno del volume.

Lo storico della matematica Michel Chasles, nel suo testo Aperçu historique sur l'origine et le developpement des methodes en geometrie, commenta il metodo di Guarini:

"On y remarque surtout une démonstration extrêmement simple, et qui s'applique aux trois sections coniques en même temps, de la propriété du rapport constant des produits des segments faits sur les cordes parallàles, qui avait toujours exigé la connaissance de plusieurs propositions préliminaires."

In Euclides Adauctus, Guarini enuncia il teorema delle corde per sezioni coniche nella seguente forma [1671, XXIV, prop. 48]:

Se in una sezione conica viene tracciata una qualsiasi retta che interseca due rette parallele, il rettangolo fatto con i segmenti intercettati da una, sta al rettangolo fatto con i segmenti intercettati dall'altra, come il rettangolo fatto con i segmenti intercettati da una sta al rettangolo fatto con i segmenti intercettati dall'altra parallela.

Possiamo riformulare l'affermazione come segue:

Data una sezione conica TOS e una corda OM, e altre due corde parallele tra loro, QE e TS, che incontrano OM in I e in V rispettivamente, allora
$$ \frac{MV \times VO}{MI \times IO} = \frac{TV \times VS}{EI \times IQ}. $$

Cono utilizzato per dimostrare la proposizione 48.